Question

Sin^4x-cos^4x=1/2 Найти наименьший положительный корень уравнения

Answer 1

$sin^4x-cos^4x=\frac{1}{2}\\\\(sin^2x-cos^2x)\underbrace {(sin^2x+cos^2x)}_1=\frac{1}{2}\\\\-cos2x=\frac{1}{2}\\\\cos2x=-\frac{1}{2}\\\\2x=\pm (\pi -\frac{\pi}{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; \in Z\\\\x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in Z$

Наименьший положительный корень: $x=\frac{2\pi}{3}$ .

Answer 2

Для решения уравнения sin^4(x) - cos^4(x) = 1/2, мы можем использовать тригонометрическую идентичность, которая связывает квадраты синуса и косинуса:

sin^2(x) - cos^2(x) = sin(2x)

Теперь мы можем заменить sin^2(x) - cos^2(x) на sin(2x) в исходном уравнении:

sin(2x) * sin(2x) = 1/2

Упростим это уравнение:

sin^2(2x) = 1/2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(2x) = ± √(1/2)

Так как мы ищем наименьший положительный корень, мы выбираем положительное значение для правой стороны:

sin(2x) = √(1/2)

Теперь найдем все значения угла 2x, для которых синус равен √(1/2). Это происходит при:

2x = π/4 + 2πn, где n - целое число

Теперь разделим оба выражения на 2:

x = π/8 + πn, где n - целое число

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения sin^4(x) - cos^4(x) = 1/2 равен π/8.