Question

(sinx+cosx)^3 * корень (1-x^2) = 0

Answer 1

$(sinx+cosx)^3\sqrt{1-x^2}=0\\\\1.\; \; sinx+cosx=0\; |:cosx\ne 0\\\\tgx+1=0,tgx=-1\\\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\\\\2.\; \; 1-x^2=0,\; x^2=1,\\\\x_2=-1,x_3=1$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(sin^3x + 3sin^2x*cosx + 3sinx*cos^2x + cos^3x) + √(1-x^2) = 0

Заметим, что первое слагаемое - это куб синуса и куб косинуса, которые можно заменить с помощью тригонометрической формулы:

(sin^3x + cos^3x) + 3sinx*cosx*(sinx + cosx) + √(1-x^2) = 0

Теперь применим формулу суммы кубов:

(sin x + cos x)(sin^2 x - sin x * cos x + cos^2 x) + 3sinx*cosx*(sinx + cosx) + √(1-x^2) = 0

Так как sin^2x + cos^2x = 1, то:

(sin x + cos x) + 3sinx*cosx*(sinx + cosx) + √(1-x^2) = 0

Теперь рассмотрим корень √(1-x^2). Это корень из квадратного трехчлена, который равен нулю только при x = -1 и x = 1. Однако, так как корень не может быть отрицательным, то x = 1 не подходит. Остается только x = -1.

Теперь подставим x = -1 в исходное уравнение:

(sin(-1) + cos(-1)) + 3sin(-1)*cos(-1)*(sin(-1) + cos(-1)) + √(1-(-1)^2) = 0

(-sin(1) + cos(1)) + 3*(-sin(1))*cos(1)*(-sin(1) + cos(1)) + √2 = 0

Таким образом, решением данного уравнения является x = -1.