Question

Задание повышенной сложности, 11 класс. Решить в рамках школьной программы, правило Лопиталя использовать нельзя.

Answer 1

Подставив вместо х=п/2, получим $1^{\infty}$. Если неопределенность $1^{\infty}$, то работаем всегда со вторым замечательным пределом $\displaystyle \lim_{x\to0} (1+x)^{ \frac{1}{x} }=e$
$\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2} }\sin x^{tgx}=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }tg x\ln\sin x}=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x\ln \sin x}{\cos x} }=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{(\sin x-1)\ln (1+\sin x-1)}{\cos x\cdot( \sin x-1)} }=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x-1}{\cos x} }=\\ \\ =e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\cos x(\sin x-1)}{\cos^2x} }=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\cos x(\sin x-1)}{-(\sin x-1)(\sin x+1)} }=e^0=1$

Answer 2

Правило Лопиталя – это способ вычисления предела отношения производных функций, который часто используется для решения сложных задач на пределы. Однако, в рамках данного задания, мы должны решить его без использования данного правила.

Для решения задачи без правила Лопиталя, мы можем использовать другие методы, такие как разложение функции в ряд Маклорена или использование алгебраических преобразований.

Приведу пример задачи, которую можно решить без использования правила Лопиталя:

Найти предел функции f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) при x -> 1.

1. Подставим x = 1 в функцию: f(1) = (1^2 - 1) / (1 - 1) = 0/0

2. Заметим, что в числителе есть разность квадратов: f(x) = ((x - 1)(x + 1)) / (x - 1)

3. Сократим (x - 1) в числителе и знаменателе: f(x) = x + 1

4. Подставим x = 1 в полученную функцию: f(1) = 1 + 1 = 2

Таким образом, предел функции f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) при x -> 1 равен 2.

В данном примере мы не использовали правило Лопиталя, а воспользовались алгебраическими преобразованиями, чтобы упростить функцию и найти ее предел.