Question

Найти число целых решений неравенства log1/2(x*2 -3x+2)>-1

Answer 1

Решение
log1/2(x² -3x+2)>-1  
ОДЗ: x² - 3x + 2 > 0
x₁ = 1
x₂ = 2
x ∈ (- ∞;1)∪(2; + ∞)
log₁/₂(x² - 3x+2) > - 1* log₁/₂ (1/2)
log₁/₂(x² - 3x + 2) >  log₁/₂ (1/2)⁻¹
log₁/₂(x² - 3x + 2) >  log₁/₂ 2
так как  0 < 1/2 < 1, то
x² - 3x + 2 < 2
x² - 3x < 0
x*(x - 3) < 0
x₁ = 0
x - 3 = 0
x₂ = 3
x ∈ (0;3)
С учётом ОДЗ
x ∈ (0;1); (2;3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте начнем с того, чтобы привести его к более простому виду.

Неравенство, которое нужно решить, имеет вид:

log(1/2)(x^2 - 3x + 2) > -1

Для начала, давайте избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в степень основания логарифма. В данном случае, основание логарифма равно 1/2, поэтому возведение в степень 1/(1/2) эквивалентно умножению на 2:

(x^2 - 3x + 2) > 2^(-1)

Теперь, упростим правую часть неравенства:

(x^2 - 3x + 2) > 1/2

Для дальнейшего решения неравенства, давайте приведем его к квадратному виду. Перенесем все в одну сторону и получим:

x^2 - 3x + 2 - 1/2 > 0

x^2 - 3x + 3/2 > 0

Теперь давайте найдем корни этого квадратного уравнения. Воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -3 и c = 3/2. Подставим значения и вычислим дискриминант:

D = (-3)^2 - 4(1)(3/2) = 9 - 6 = 3

Так как дискриминант положительный, это означает, что уравнение имеет два различных корня. Давайте найдем эти корни, используя формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения и вычислим корни:

x = (3 ± √3) / 2

Таким образом, мы получили два корня уравнения: x = (3 + √3)/2 и x = (3 - √3)/2.

Теперь, чтобы определить значения x, при которых неравенство выполняется, давайте проведем тестирование интервалов, созданных этими корнями и другими точками на числовой оси.

Давайте рассмотрим три интервала: (-∞, (3 - √3)/2), ((3 - √3)/2, (3 + √3)/2) и ((3 + √3)/2, +∞).

Выберем произвольную точку в каждом интервале и подставим ее в исходное неравенство. Если неравенство выполняется для выбранной точки, то все значения в данном интервале являются решениями неравенства.

Например, для интервала (-∞, (3 - √3)/2), выберем точку x = 0:

log(1/2)(0^2 - 3(0) + 2) > -1

log(1/2)(2) > -1

2 > 1/2

Это неравенство выполняется, следовательно, все значения в интервале (-∞, (3 - √3)/2) являются решениями неравенства.

Аналогичным образом, можно проверить значение в других двух интервалах и убедиться, что значения в этих интервалах также являются решениями неравенства.

Итак, число целых решений данного неравенства равно бесконечности, так как каждый из трех интервалов содержит бесконечное количество чисел.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.