Question

Докажите что при любых значениях переменной выполняется неравенство (a^2+10)/корень из a^2+9 >=2

Answer 1

(a²+10)/√(a²+9) ≥2
При любом а a²+10≥10 и √(a²+9)≥3, поэтому
(a²+10)≥2√(a²+9)
(a²+10)²≥4(a²+9)
a⁴+20a²+100≥4a²+36
a⁴+16a²+64≥0
(a²+8)²≥0 это верно при любом а

Answer 2

Для начала, заметим, что a^2 + 9 > 0 для любых значений переменной a, так как квадрат любого числа неотрицателен, а при a = 0 данное неравенство становится равенством.

Теперь рассмотрим два случая:

1) a^2 + 9 > 0 и a > 0: В этом случае корень из a^2 + 9 также будет положительным числом. Подставим это значение в исходное неравенство: (a^2 + 10) / √(a^2 + 9) >= 2 (a^2 + 10) >= 2√(a^2 + 9) (a^2 + 10)^2 >= 4(a^2 + 9) a^4 + 20a^2 + 100 >= 4a^2 + 36 a^4 + 16a^2 + 64 >= 0 (a^2 + 8)^2 >= 0 Так как квадрат любого числа неотрицателен, данное неравенство выполняется для любых значений a > 0.

2) a^2 + 9 > 0 и a < 0: В этом случае, корень из a^2 + 9 будет отрицательным числом. Подставим это значение в исходное неравенство: (a^2 + 10) / √(a^2 + 9) >= 2 (a^2 + 10) <= -2√(a^2 + 9) (a^2 + 10)^2 <= 4(a^2 + 9) a^4 + 20a^2 + 100 <= 4a^2 + 36 a^4 + 16a^2 + 64 <= 0 (a^2 + 8)^2 <= 0 Так как квадрат любого числа неотрицателен, данное неравенство не выполняется для любых значений a < 0.

Таким образом, при любых значениях переменной a, неравенство (a^2 + 10) / √(a^2 + 9) >= 2 выполняется только при a > 0.

Answer 3

Для доказательства данного неравенства, рассмотрим два случая:

1) Пусть a^2 + 9 > 0. В этом случае корень из a^2 + 9 также будет положительным числом. Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

(a^2 + 10) / √(a^2 + 9) ≥ 2

Умножим обе части неравенства на √(a^2 + 9):

(a^2 + 10) ≥ 2√(a^2 + 9)

Возведем обе части неравенства