Question

Докажите, что значение выражения 27^4 - 3^10 кратно 8

Answer 1

3^12-3^10=3^10*3^2-3^10=3^10(9-1)=3^10*8
один из множителей равен 8, значит выражение делится на 8

Answer 2

Значение выражения 27^4 - 3^10 кратно 8, потому что оно равно разности двух степеней тройки, у которых показатели четные. Для доказательства этого факта можно использовать следующие свойства степеней и деления:

- Если a и b - целые числа, то a^b - целое число. - Если a и b - четные числа, то a - b - четное число. - Если a - четное число, то a делится на 2 без остатка. - Если a делится на 2 без остатка и b - целое число, то a^b делится на 2^b без остатка. - Если a и b - целые числа и a делится на b без остатка, то a - b делится на b без остатка.

Используя эти свойства, можно получить следующую цепочку рассуждений:

- 27^4 - 3^10 = (3^3)^4 - 3^10 = 3^(3*4) - 3^(2*5) = 3^12 - 3^10 - 3^12 - 3^10 - четное число, потому что 12 и 10 - четные числа. - 3^12 - 3^10 делится на 2 без остатка, потому что 3^12 и 3^10 делится на 2 без остатка, так как 12 и 10 - целые числа. - 3^12 - 3^10 делится на 2^2 = 4 без остатка, потому что 3^12 и 3^10 делится на 2^2 без остатка, так как 12 и 10 - целые числа. - 3^12 - 3^10 делится на 2^3 = 8 без остатка, потому что 3^12 и 3^10 делится на 2^3 без остатка, так как 12 и 10 - целые числа.

Таким образом, 27^4 - 3^10 кратно 8, что и требовалось доказать.