Question

Log2 (x-1)/(x+1) + log(x+1)/(x-1) 2 > 0

Answer 1

$log_2 \frac{x-1}{x+1}+ log_2\frac{x+1}{x-1} \ \textgreater \ 0\; ,\; \; \ \; ODZ:\; x\ne 1,\; x\ne -1\\\\log_2\, ( \frac{x-1}{x+1}\cdot \frac{x+1}{x-1} )\ \textgreater \ log_21\\\\log_21\ \textgreater \ log_21\; \; -\; \; net\; \; reshenij,\; t.k.\; \; log_21=log_21$

Answer 2

Вы задали вопрос о неравенстве, включающем логарифмические функции. Давайте рассмотрим его подробно.

Данное неравенство выглядит следующим образом:

log2((x-1)/(x+1)) + log((x+1)/(x-1)) + 2 > 0

Для начала, давайте упростим выражение, используя свойства логарифмов.

log2((x-1)/(x+1)) можно записать как log2(x-1) - log2(x+1), поскольку разность логарифмов равна логарифму отношения.

Таким же образом, log((x+1)/(x-1)) можно записать как log(x+1) - log(x-1).

Теперь мы можем переписать исходное неравенство:

log2(x-1) - log2(x+1) + log(x+1) - log(x-1) + 2 > 0

Далее, мы можем объединить логарифмы с одинаковыми основаниями. Таким образом, log2(x-1) - log2(x+1) и log(x+1) - log(x-1) можно записать как log2((x-1)/(x+1)) и log((x+1)/(x-1)) соответственно.

Теперь неравенство принимает вид:

log2((x-1)/(x+1)) + log((x+1)/(x-1)) + 2 > 0

Подставляем значения:

log2((x-1)/(x+1)) + log((x+1)/(x-1)) + 2 > 0

Теперь давайте проанализируем, когда это неравенство будет выполняться.

Во-первых, log2((x-1)/(x+1)) и log((x+1)/(x-1)) оба будут положительными, если (x-1)/(x+1) и (x+1)/(x-1) положительны.

(x-1)/(x+1) > 0 и (x+1)/(x-1) > 0

Нам нужно найти значения x, при которых оба соотношения положительны.

Мы можем решить эти неравенства, используя знаки на числовой прямой или анализируя знаки функций.

Чтобы понять знаки этих соотношений, рассмотрим знаки числителя и знаменателя в каждом из них.

(x-1)/(x+1) имеет отрицательный числитель и положительный знаменатель. Таким образом, оно будет отрицательным, когда x < -1 или x > 1.

(x+1)/(x-1) имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель. Таким образом, оно будет отрицательным, когда -1 < x < 1.

Теперь мы можем рассмотреть области, в которых оба соотношения положительны:

- x > 1 или x < -1 - -1 < x < 1

Теперь вернемся к исходному неравенству:

log2((x-1)/(x+1)) + log((x+1)/(x-1)) + 2 > 0

Мы знаем, что оба слагаемых в неравенстве будут положительными только в тех областях, которые мы определили ранее.

Таким образом, чтобы неравенство было истинным, x должно принадлежать к одной из следующих областей:

- x > 1 или x < -1 - -1 < x < 1

Обратите внимание, что при x = 1 или x = -1 деление на ноль происходит в исходном неравенстве. Поэтому эти значения не удовлетворяют неравенству.

Надеюсь, это помогло вам понять и решить данное неравенство. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!