Question

Cos 4α – sin 4α∙ctg 2α = -1 доведіть тотожністьОбчисліть значення виразу ctg 315º.Спростіть вираз sin2α + cos2α – 7.

Answer 1

  cos4a-2sin2acos2a*cos2a/sin2a= cos4a-2cos²2a=cos²2a-sin²2a-2cos²2a=-sin²2a-cos²2a=-(sin²2a+cos²2a)=-1 тождество верно
    ctg 315= ctg(360-45)=-ctg45=-1

Answer 2

Для розв'язання першої тотожності, спробуйте переписати її в термінах синусів та косинусів:

cos(4α) – sin(4α) * ctg(2α) = -1

Замінимо ctg(2α) на 1/tan(2α) та ctg(315º) на 1/tan(315º):

cos(4α) – sin(4α) * (1/tan(2α)) = -1

Знайдіть спільний знаменник для першого доданку:

(cos(4α) * tan(2α) – sin(4α)) / tan(2α) = -1

Тепер врахуйте тотожність тангенса подвійного кута:

tan(2α) = (2tan(α)) / (1 - tan^2(α))

Підставте це значення назад у рівняння:

(cos(4α) * (2tan(α)) / (1 - tan^2(α)) – sin(4α)) / ((2tan(α)) / (1 - tan^2(α))) = -1

Спростимо це рівняння, помноживши обидві сторони на (1 - tan^2(α)):

cos(4α) * (2tan(α)) – sin(4α) * (1 - tan^2(α)) = -1 * (2tan(α)) * (1 - tan^2(α))

Розкрийте дужки та спростіть:

2sin(α)cos^3(α) - sin(4α) + sin^3(α)cos(α) = -2tan(α) + 2tan^3(α)

Залишається довести, що це рівняння справедливе для будь-якого значення α.

Щодо другої частини вашого запиту, розглянемо кожне завдання окремо.

Обчислення значення виразу ctg(315º):

Запишемо ctg(315º) в термінах синусів та косинусів:

ctg(315º) = 1 / tan(315º)

Тангенс 315º можна обчислити, використовуючи тригонометричні значення 45º:

tan(315º) = tan(45º + 270º) = (tan(45º) + tan(270º)) / (1 - tan(45º) * tan(270º))

Так як tan(270º) = -∞, отримаємо:

tan(315º) = (1 + (-∞)) / (1 - 1 * (-∞))

Таке вираження є неозначеністю, оскільки співвідношення між ∞ та -∞ є нескінченністю. Тому ctg(315º) не має визначеного значення.

Спрощення виразу sin^2(α) + cos^2(α) – 7:

Запишемо цей вираз в термінах тригонометричних тотожностей:

sin^2(α) + cos^2(α) – 7 = 1 – cos^2(α) + cos^2(α) – 7

Знайдемо спільний знаменник та спростимо:

(1 + cos^2(α) – cos^2(α) – 7) / 1 = -6

Таким чином, спрощений вираз sin^2(α) + cos^2(α) – 7 дорівнює -6.