Question

Докажите что (n+1)^2-(n-1)^2 делиться на 4 и 11^50-11^49-11^48 делиться на 109. Пожалуйста объясните как это решить.

Answer 1

$(n+1)^2-(n-1)^2=(n+1-n+1)(n+1+n-1)=2\cdot 2n=4n$
Поскольку первый множитель делиться на 4, то исходное выражение тоже делится на 4.

$11^{50}-11^{49}-11^{48}=11^{48}(121-11-1)=11^{48}\cdot109$
Второй множитель делиться на 109. что и требовалось доказать

Answer 2

Первое уравнение: (n+1)^2 - (n-1)^2

Раскроем квадраты:

(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 (n-1)^2 = n^2 - 2n + 1

Подставим значения в исходное уравнение:

(n+1)^2 - (n-1)^2 = (n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 = 4n

Таким образом, (n+1)^2 - (n-1)^2 делится на 4 для любого значения n.

Второе уравнение: 11^50 - 11^49 - 11^48

Раскроем выражение:

11^50 - 11^49 - 11^48 = 11^48 * (11^2 - 11 - 1) = 11^48 * (121 - 11 - 1) = 11^48 * 109

Таким образом, 11^50 - 11^49 - 11^48 делится на 109.

Таким образом, оба уравнения доказаны.