Question

Неравенство с модулями.есть ли способ кроме раскрытия скобок по интервалам? ( |x+4| - |x+2| )(x²+8x-7)≤0

Answer 1

( |x+4| - |x+2| )(x²+8x-7)≤0
1)x<-4
(-x-4+x+2)(x²+8x-7)≤0
-2(x²+8x-7)≤0
x²+8x-7≥0
D=64+28=92
x1=(-8-2√23)/2=-4-√23
x2=-4+√23
x≤-4-√23 U x≥-4+√23
x∈(-∞;-4-√23]
2)-4≤x≤-2
(x+4+x+2)(x²+8x-7)≤0
(2x+6)(x²+8x-7)≤0
x=-3  x=-4-√23  x=-4+√23
           _                  +                      _                               +
-------------[-4-√23]---[-4]----[-3]-----[-2]--------[-4+√23]---------------
                                 ////////////////////////
x∈[-3;-2]
3)x>-2
(x+4-x-2)(x²+8x-7)≤0
2(x²+8x-7)≤0
-4-√23≤x≤-4+√23
x∈(-2;-4+√23]
Ответ x∈(-∞;-4-√23] U [-3;-4+√23]

Answer 2

Неравенство с модулями, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

(|x + 4| - |x + 2|)(x^2 + 8x - 7) ≤ 0

Когда мы сталкиваемся с неравенствами с модулями, один из способов решения состоит в раскрытии скобок по интервалам. Однако, в данном случае, можно использовать другой метод, чтобы найти решение неравенства.

Давайте проанализируем каждую часть неравенства по отдельности.

1. Анализ выражения |x + 4| - |x + 2|:

Поскольку модуль всегда неотрицательный, мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: x + 4 ≥ 0 и x + 2 ≥ 0 В этом случае, мы можем просто записать выражение без модулей: (x + 4) - (x + 2) = x + 4 - x - 2 = 2

Случай 2: x + 4 < 0 и x + 2 < 0 В этом случае, оба значения внутри модулей отрицательные, поэтому мы можем изменить знаки и записать выражение без модулей: -(x + 4) - -(x + 2) = -x - 4 + x + 2 = -2

Теперь мы имеем два возможных значения для выражения |x + 4| - |x + 2|: 2 и -2.

2. Анализ выражения (x^2 + 8x - 7):

Данное выражение является квадратным трехчленом. Мы можем проанализировать его с помощью графика или метода дискриминанта, чтобы определить его поведение.

Если мы построим график этого квадратного трехчлена, мы увидим, что он представляет собой параболу, которая открывается вверх. Дискриминант этого трехчлена равен 80, что означает, что у него два вещественных корня.

3. Анализ неравенства:

Теперь, когда мы проанализировали оба выражения, мы можем решить неравенство.

Поскольку произведение двух чисел отрицательно только в том случае, если одно из них положительное, а другое - отрицательное, у нас есть два случая:

Случай 1: |x + 4| - |x + 2| > 0 и (x^2 + 8x - 7) < 0 В этом случае, значения выражения |x + 4| - |x + 2| должны быть положительными, а значения (x^2 + 8x - 7) должны быть отрицательными. Это означает, что x должен находиться в одном из интервалов, где выражение |x + 4| - |x + 2| равно 2, и (x^2 + 8x - 7) меньше нуля.

Случай 2: |x + 4| - |x + 2| < 0 и (x^2 + 8x - 7) > 0 В этом случае, значения выражения |x + 4| - |x + 2| должны быть отрицательными, а значения (x^2 + 8x - 7) должны быть положительными. Это означает, что x должен находиться в одном из интервалов, где выражение |x + 4| - |x + 2| равно -2, и (x^2 + 8x - 7) больше нуля.

Таким образом, решение неравенства (|x + 4| - |x + 2|)(x^2 + 8x - 7) ≤ 0 будет состоять из объединения решений этих двух случаев. Вы можете определить интервалы, в которых выполняется каждое из этих условий и найти их пересечение.

Помните, что это только один из способов решения неравенств с модулями, и в некоторых случаях может быть более удобно использовать другой подход, такой как раскрытие скобок по интервалам.