Question

При каком значении параметра а множеством значения функции у=(a-1)x кв+2x-2 является промежуток [_1;+бескон]

Answer 1

Рассмотрим три варианта:
1) Если (a-1)=0 - то квадратного уравнения не будет, получится:
y = 2x-2 - это прямая, функция принимает значения от -бесконечности до +бесконечности. Этот вариант не подходит (не является решением).
2) Если (a-1)>=0, a>=1
Парабола ветвями вверх, и единственный вариант, чтобы минимум функции был в точке 1 - это вершина параболы.
x0= 1/(1-a)
y0=1, (a-1)/(1-a)^2 - 2/(a-1) - 2 = 1, отсюда а=2/3 <  1 - не является решением в данном случае.
3) Если (a-1)<0, a<1
Парабола ветвями вниз - значения функции будут от -бесконечности до вершины - не подходит по условию задачи.

Ответ: нет решения
P.S. Не совсем понятен интервал: от +1 или -1? Я делала для интервала от +1

Answer 2

Для того чтобы определить множество значений функции у=(а-1)x^2+2x-2 при заданном значении параметра а, нужно рассмотреть два случая: когда а>1 и когда а≤1.

1. При а>1: Для начала найдем вершину параболы у=(а-1)x^2+2x-2. Для этого воспользуемся формулой x = -b/(2a), где b = 2 и a = (а-1). x = -2/(2(а-1)) = -1/(а-1). Подставим полученное значение x в уравнение и найдем у: у=(-1/(а-1))^2+2*(-1/(а-1))-2 = 1/(а-1)+2/(а-1)-2 = (3-а)/(а-1). Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-1/(а-1), (3-а)/(а-1)).

Теперь рассмотрим множество значений функции. Парабола у=(а-1)x^2+2x-2 направлена вверх (потому что коэффициент при x^2 положительный), а вершина параболы находится выше оси OX (потому что (3-а)/(а-1) > 0 при а>1). Это значит, что при а>1 парабола не пересекает ось OX и множество значений функции у=(а-1)x^2+2x-2 является промежутком [_1; +∞).

2. При а≤1: В этом случае парабола у=(а-1)x^2+2x-2 направлена вниз (потому что коэффициент при x^2 отрицательный). Вершина параболы находится ниже оси OX (потому что (3-а)/(а-1) < 0 при а≤1). При этом, если а≤1, то парабола пересекает ось OX. Найдем координаты точки пересечения с осью OX: (а-1)x^2+2x-2 = 0. Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = (а-1), b = 2, c = -2. D = 2^2 - 4(а-1)(-2) = 4 + 8(а-1) = 8а - 4. Если D > 0, то уравнение имеет два корня. Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Решим неравенство D > 0: 8а - 4 > 0 8а > 4 а > 1/2. Таким образом, когда а > 1/2, уравнение (а-1)x^2+2x-2 = 0 имеет два корня. При этом, поскольку парабола направлена вниз, множество значений функции у=(а-1)x^2+2x-2 при а≤1 является промежутком (_1; x1) ∪ (x2; +∞), где x1 и x2 - корни уравнения (а-1)x^2+2x-2 = 0.

В итоге, при значении параметра а>1 множество значений функции у=(а-1)x^2+2x-2 является промежутком [_1; +∞), а при значении параметра а≤1 множество значений функции у=(а-1)x^2+2x-2 является промежутком (_1; x1) ∪ (x2; +∞), где x1 и x2 - корни уравнения (а-1)x^2+2x-2 = 0.