Question

Докажите, что в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, что их сумма или разность делится на 100.

Answer 1

Мысленно представим множества — $[0], [1-99], [2-98], [3-97], ..., [49-51], [50]$. Соотносим с множеством остаток числа от деления его на 100. Как минимум два числа из 52 будут вместе присутствовать в некотором множестве.

Answer 2

Если среди этих чисел есть противоположные, то их сложим, получим 0, и он всегда делится на 100. Если среди них есть одинаковые, то вычтем их и тоже получим 0, который делится на 100. Если взаимно противположных и одинаковых нет, объединим это множество  чисел $a_1,\ldots a_{52}$ с множеством противоположных чисел $-a_1,\ldots, -a_{52}$ , они будут отличаться от тех, что есть у всех кроме 0 (если он есть). Получится не меньше 51+51+1=103 числа. Рассмотрим остатки этих 103-ех чисел при делении на 100. Т.к. 103 больше 100, то есть два числа с одинаковым остатком, значит их разность делится на 100. А их разность это, либо разность каких-то исходных, либо их сумма (быть может со знаком минус)

Answer 3

Доказательство: Сумма и разность двух чисел

Для доказательства этого утверждения мы можем использовать принцип ящиков и шаров, также известный как принцип Дирихле.

У нас есть 52 целых числа. Мы хотим показать, что среди этого набора чисел всегда найдутся два числа, сумма или разность которых делится на 100.

Если мы возьмем любые два числа из этого набора, то существует 4 возможных случая:

1. Оба числа делятся на 100. 2. Оба числа дают остаток при делении на 100. 3. Одно число делится на 100, а другое даёт остаток. 4. Одно число даёт остаток, а другое делится на 100.

В каждом из этих случаев мы можем найти такие два числа, сумма или разность которых делится на 100:

1. Если оба числа делятся на 100, то их сумма и разность также будут делиться на 100. 2. Если оба числа дают остаток при делении на 100, то их сумма и разность также будут давать тот же остаток. 3. Если одно число делится на 100, а другое даёт остаток, то их сумма и разность также будут давать остаток. 4. Если одно число даёт остаток, а другое делится на 100, то их сумма и разность также будут давать остаток.

Таким образом, в каждом из этих случаев мы можем найти такую пару чисел, сумма или разность которых делится на 100. Следовательно, в любом наборе из 52 целых чисел всегда найдутся такие два числа, что их сумма или разность делится на 100.