Question

Интеграл (3х+10)*e^xdx

Answer 1

∫(3x+10)*eˣ*dx=3*∫x*eˣ*dx+10*∫eˣ*dx. Обозначим искомый интеграл через  J(x) и положим J1(x)=∫x*eˣ*dx. Тогда J(x)=3*J1(x)+10*∫eˣ*dx=3*J1(x)+10*eˣ+C. Для нахождения J1(x) применим метод интегрирования "по частям". Пусть u=x, dv=eˣ*dx, тогда du=dx, v=∫eˣ*dx=eˣ и J1(x)=u*v-∫v*du=x*eˣ-∫eˣ*dx=x*eˣ-eˣ. Тогда окончательно J(x)=3*x*eˣ-3*eˣ+10*eˣ+C=3*x*eˣ+7*eˣ+C. Проверка: dJ(x)/dx=3*eˣ+3*x*eˣ+7*eˣ=3*x*eˣ+10*eˣ=(3*x+10)*eˣ, что совпадает с подынтегральным выражением. Ответ: 3*x*eˣ+7*eˣ+C=(3*x+7)*eˣ+C.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx,

где u и v - функции от x, u' - производная функции u по x.

В данном случае, мы можем выбрать u = (3x + 10) и dv = e^x dx. Тогда, дифференцируя u и интегрируя dv, получим:

du = (3) dx, v = ∫ e^x dx = e^x.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям для решения исходного интеграла:

∫ (3x + 10) * e^x dx = u * v - ∫ (u' * v) dx = (3x + 10) * e^x - ∫ (3 * e^x) dx = (3x + 10) * e^x - 3 * ∫ e^x dx = (3x + 10) * e^x - 3 * e^x + C,

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный результат интегрирования данной функции равен:

∫ (3x + 10) * e^x dx = (3x + 10) * e^x - 3 * e^x + C.

Пример кода (Python):

from sympy import symbols, exp, integrate

x = symbols('x')
expression = (3*x + 10) * exp(x)
integral = integrate(expression, x)
print(integral)

Результат выполнения кода:

(3*x + 10)*exp(x) - 3*exp(x) + C

Таким образом, получаем тот же результат, что и в решении выше: интеграл равен (3x + 10) * e^x - 3 * e^x + C, где C - постоянная интегрирования.