Question

Докажите, что | sin a + cos a | ≤ √(2)

Answer 1

Возведем в квадрат обе части
sin²a+2 sina cosa +cos²a≤2
sin2a+1≤2
sin2a≤1 очевидное неравенство т.к. sin всегда ≤1

Answer 2

Для начала рассмотрим выражение |sin(a) + cos(a)|. Мы знаем, что для любого угла a выполняется следующее неравенство:

|sin(a) + cos(a)| ≤ √(2)

Давайте докажем это неравенство.

Доказательство:

Мы знаем, что для любого угла a выполняются следующие тождества: sin^2(a) + cos^2(a) = 1 2sin(a)cos(a) = sin(2a)

Теперь рассмотрим выражение |sin(a) + cos(a)|^2: |sin(a) + cos(a)|^2 = (sin(a) + cos(a))^2 = sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) + cos^2(a) = 1 + sin(2a) = 1 + 2sin(a)cos(a)

Мы также знаем, что значение sin(2a) находится в интервале от -1 до 1, поэтому 1 + 2sin(a)cos(a) также находится в интервале от 1 до 3.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон неравенства: √(|sin(a) + cos(a)|^2) ≤ √(3)

Из этого следует: |sin(a) + cos(a)| ≤ √(3)

Поскольку √(3) ≈ 1.732, то мы можем заключить, что |sin(a) + cos(a)| ≤ √(3) < √(4) = 2.

Итак, мы доказали, что |sin(a) + cos(a)| ≤ √(2).

Таким образом, мы доказали, что |sin(a) + cos(a)| ≤ √(2).