Question

Найдите производную функции f(x)=tg(Пи/4-x) и ее значение при x=-3/4ПИ

Answer 1

$f(x)=tg(\frac{\pi}{4}-x)\\\\f'(x)=\frac{1}{cos^2(\frac{\pi}{4}-x)}\cdot (-1)\\\\x=-\frac{3\pi}{4}\; ,\; f'(-\frac{3\pi}{4})=\frac{-1}{c os^2(\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{4})}=\frac{-1}{cos^2\pi }=-\frac{1}{(-1)^2}=-1$

Answer 2

$f(x)=tg( \frac{\pi}{4}-x) \\ x=- \frac{3}{4}\pi \\ f'(x)= \frac{1}{cos^2( \frac{\pi}{4}-x) }(-1)= - \frac{1}{cos^2( \frac{\pi}{4}-x) } \\ f'(- \frac{3}{4}\pi)=- \frac{1}{cos^2( \frac{\pi}{4}+ \frac{3}{4}\pi ) } =- \frac{1}{(-1)^2}=-1$

Answer 3

Для того чтобы найти производную функции f(x) = tg(π/4 - x), мы можем использовать правило цепной дифференциации. Правило цепной дифференциации утверждает, что если у нас есть функция g(x) и функция f(u), где u = g(x), то производная функции f(u) по переменной x может быть найдена как произведение производной функции f(u) по переменной u и производной функции g(x) по переменной x.

В нашем случае, мы имеем функцию f(x) = tg(π/4 - x), где u = π/4 - x. Давайте найдем производные f(u) и g(x) по соответствующим переменным:

Производная функции f(u) = tg(u) равна:

f'(u) = sec^2(u)

Производная функции g(x) = π/4 - x равна:

g'(x) = -1

Теперь, применяя правило цепной дифференциации, мы можем найти производную функции f(x) = tg(π/4 - x) по переменной x:

f'(x) = f'(u) * g'(x)

Подставим значения производных:

f'(x) = sec^2(u) * -1

Теперь, чтобы найти значение производной функции f(x) при x = -3/4π, мы должны вычислить значение функции f'(x) в этой точке. Подставим x = -3/4π в полученное выражение для производной:

f'(-3/4π) = sec^2(u) * -1

где u = π/4 - (-3/4π)

Вычислим u:

u = π/4 + 3/4π

Теперь вычислим sec^2(u):

sec^2(u) = 1/cos^2(u)

Используя тригонометрические идентичности, мы можем выразить cos^2(u) в терминах sin^2(u):

cos^2(u) = 1 - sin^2(u)

Подставим это значение обратно в выражение для sec^2(u):

sec^2(u) = 1/(1 - sin^2(u))

Теперь, вычислим sin^2(u):

sin^2(u) = sin^2(π/4 + 3/4π)

Для этого нам понадобится знание значения синуса и косинуса для углов π/4 и 3/4π.

sin(π/4) = 1/√2 cos(π/4) = 1/√2 sin(3/4π) = -1 cos(3/4π) = -1/√2

Теперь вычислим sin^2(u):

sin^2(u) = sin^2(π/4 + 3/4π) = sin^2(π/4) * cos^2(3/4π) + cos^2(π/4) * sin^2(3/4π) + 2 * sin(π/4) * cos(π/4) * sin(3/4π) * cos(3/4π)

Подставим значения:

sin^2(u) = (1/√2)^2 * (-1/√2)^2 + (1/√2)^2 * (-1)^2 + 2 * (1/√2) * (1/√2) * (-1) * (-1/√2)

Вычислим это выражение:

sin^2(u) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 + 2 * 1/2 * 1/2 * 1 * 1/√2

sin^2(u) = 1/4 + 1/2 + 1/2√2

Теперь, подставим значение sin^2(u) обратно в выражение для sec^2(u):

sec^2(u) = 1/(1 - sin^2(u))

sec^2(u) = 1/(1 - 1/4 - 1/2 - 1/2√2)

sec^2(u) = 1/(3/4 - 1/2√2)

sec^2(u) = 4/3 * (1 - 1/2√2)

Теперь, мы можем вернуться к выражению для производной функции f(x) и подставить значение sec^2(u):

f'(x) = sec^2(u) * -1

f'(-3/4π) = sec^2(u) * -1

f'(-3/4π) = 4/3 * (1 - 1/2√2) * -1

Вычислим это выражение:

f'(-3/4π) = -4/3 * (1 - 1/2√2)

Таким образом, мы получили значение производной функции f(x) = tg(π/4 - x) при x = -3/4π. Если вы хотите точное численное значение, вам понадобится использовать калькулятор или программу для вычисления этого выражения.