Question

15 задача ЕГЭ по профильной математике sqrt(x+3)-sqrt(3*x-2)>sqrt(x-2)

Answer 1

$\sqrt{x+3}- \sqrt{3x-2}\ \textgreater \ \sqrt{x-2}$

ОДЗ:
$x+3 \geq 0 \\ 3x-2 \geq 0 \\ x-2 \geq 0 \\ \\ x \geq 2$

Возведем в квадрат
$x+3-2 \sqrt{(x+3)(3x-2)} -3x+2\ \textgreater \ x-2 \\ 2 \sqrt{(x+3)(3x-2)}\ \textless \ -3x+7$
Повторно возведем в квдрат
$4(x+3)(3x-2)\ \textless \ (-3x+7)^2 \\ 12x^2-32x+16\ \textless \ 9x^2-42x+49 \\ 3x^2+10x-33\ \textless \ 0 \\ \\ 3x^2+10x-33=0 \\ D=100+396=496=(4 \sqrt{31})^2 \\ x_{1,2}= \dfrac{-10б4 \sqrt{31} }{6} = \dfrac{-5б2 \sqrt{31} }{3}$

a>0 ⇒ x∈(-5-2√31/3;-5+2√31/3)

С учетом ОДЗ

x∈[2;-5+2√31/3)

Ответ: x∈[2;-5+2√31/3)

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно выполнить несколько шагов.

1. Вначале нужно выразить корень из выражения в более удобной форме. Для этого возводим обе части неравенства в квадрат:

(sqrt(x+3) - sqrt(3*x-2))^2 > (sqrt(x-2))^2

2. Раскрываем квадраты:

(x+3) - 2*sqrt(x+3)*sqrt(3*x-2) + (3*x-2) > x-2

3. Упрощаем выражение:

x + 3 - 2*sqrt((x+3)*(3*x-2)) + 3*x - 2 > x - 2

4. Переносим все слагаемые с x на одну сторону, а все свободные члены на другую:

3*x + 3 - 2*sqrt((x+3)*(3*x-2)) - x > -2 - 3 + 2

5. Упрощаем выражение:

2*x + 1 - 2*sqrt((x+3)*(3*x-2)) > -1

6. Переносим все слагаемые с x на одну сторону, а все свободные члены на другую:

2*x - 2*sqrt((x+3)*(3*x-2)) > -1 - 1

7. Упрощаем выражение:

2*x - 2*sqrt((x+3)*(3*x-2)) > -2

8. Делим обе части неравенства на 2:

x - sqrt((x+3)*(3*x-2)) > -1

9. Теперь нужно возвести обе части неравенства в квадрат:

(x - sqrt((x+3)*(3*x-2)))^2 > (-1)^2

10. Раскрываем квадрат:

x^2 - 2*x*sqrt((x+3)*(3*x-2)) + (x+3)*(3*x-2) > 1

11. Упрощаем выражение:

x^2 - 2*x*sqrt((x+3)*(3*x-2)) + 3*x^2 - 6*x + 9*x - 6 > 1

12. Складываем подобные члены:

4*x^2 + 3*x - 6 - 2*x*sqrt((x+3)*(3*x-2)) > 1

13. Переносим все слагаемые на одну сторону:

4*x^2 + 3*x - 6 - 1 > 2*x*sqrt((x+3)*(3*x-2))

14. Упрощаем выражение:

4*x^2 + 3*x - 7 > 2*x*sqrt((x+3)*(3*x-2))

15. Теперь можно разложить неравенство на два неравенства:

4*x^2 + 3*x - 7 > 0 и (x+3)*(3*x-2) > 0

Далее решаем каждое из неравенств отдельно и находим их пересечение.