Question

Найти наибольший общий делитель многочленов f(x)=x^4-x^3-7x^2+x+6 и g(x)=x^3-x^2-9x+9

Answer 1

G(x)=x^2(x-1)-9(x-1)=(x-1)(x-3)(x+3)
f(x)=x^3(x-1)-7x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x^3-7x-6)=(x-1)(x^2(x-3)+3x(x-3)+2(x-3))=(x-1)(x+3)(x^2+3x+2)=
=(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)
x^2+3x+2=0
D=9-8=1
x1=-2 x2=-1
наибольший общий делитель (х-1)(х+3)

Answer 2

Для нахождения наибольшего общего делителя многочленов f(x) и g(x) можно воспользоваться алгоритмом Евклида.

Шаг 1: Делим многочлен f(x) на g(x) с помощью деления многочленов с остатком: f(x) = g(x) * q(x) + r(x)

где q(x) - частное, r(x) - остаток.

Проведем деление: x^4-x^3-7x^2+x+6 = (x^3-x^2-9x+9)(x+1) + (8x^2-16x-3)

Шаг 2: Делим многочлен g(x) на остаток r(x): g(x) = r(x) * q1(x) + r1(x)

Проведем деление: x^3-x^2-9x+9 = (8x^2-16x-3)(\frac{1}{8}x+\frac{5}{4}) + 0

Таким образом, наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) равен остатку r(x), который равен 8x^2-16x-3.

Итак, наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) равен 8x^2-16x-3.