Question

Решите неравенство log0.5(2x^2+3x+1)<= 2log0.5(x-1)

Answer 1

Готово! Ответ на фото:

Answer 2

Давайте решим неравенство по порядку. Начнем с выражения в логарифме слева от неравенства:

Шаг 1: Разворачиваем логарифмы Нам дано неравенство:

log0.5(2x^2 + 3x + 1) <= 2log0.5(x - 1)

Согласно свойствам логарифмов, мы можем развернуть логарифмы следующим образом:

2x^2 + 3x + 1 <= (0.5)^(2log0.5(x - 1))

Шаг 2: Вычисляем 2log0.5(x - 1) (0.5)^(2log0.5(x - 1)) можно переписать в виде (0.5^2)^(log0.5(x - 1)), что равно 0.25^(log0.5(x - 1)).

Таким образом, неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^(log0.5(x - 1))

Шаг 3: Выражаем 0.25^(log0.5(x - 1)) в виде степени с основанием 10 Мы знаем, что 0.25 = 1/4, поэтому мы можем переписать неравенство следующим образом:

2x^2 + 3x + 1 <= (1/4)^(log0.5(x - 1))

Шаг 4: Преобразуем неравенство в экспоненциальную форму Мы можем преобразовать неравенство, чтобы избавиться от логарифма:

2x^2 + 3x + 1 <= 10^(-2log0.5(x - 1))

Шаг 5: Упрощаем выражение Мы знаем, что 10^(-2log0.5(x - 1)) = 0.5^(-2log0.5(x - 1)), что равно (0.5^2)^(-log0.5(x - 1)), что равно 0.25^(-log0.5(x - 1)).

Таким образом, неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^(-log0.5(x - 1))

Шаг 6: Разбиваем на два случая Так как нам дано неравенство с логарифмом, мы должны рассмотреть два случая: когда логарифм больше или равен нулю и когда логарифм меньше нуля.

* Случай 1: log0.5(x - 1) >= 0 В этом случае мы не можем применить отрицательное основание для степени, поэтому неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^0 2x^2 + 3x + 1 <= 1

* Случай 2: log0.5(x - 1) < 0 В этом случае мы можем применить отрицательное основание для степени, поэтому неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^(-log0.5(x - 1))

Теперь мы можем решить каждое из этих неравенств отдельно.

Решение неравенства в случае log0.5(x - 1) >= 0:

2x^2 + 3x + 1 <= 1

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение Мы можем решить это квадратное уравнение, используя различные методы, например, метод дискриминанта или факторизацию. Давайте воспользуемся методом дискриминанта.

Дискриминант (D) для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 2, b = 3 и c = 1. Подставляя значения в формулу дискриминанта, получаем:

D = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант равен положительному числу, у нас есть два корня:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

Подставляя значения, получаем:

x1 = (-3 + sqrt(1)) / (2*2) = (-3 + 1) / 4 = -2/4 = -0.5 x2 = (-3 - sqrt(1)) / (2*2) = (-3 - 1) / 4 = -4/4 = -1

Таким образом, мы получили два корня: x1 = -0.5 и x2 = -1.

Решение неравенства в случае log0.5(x - 1) < 0:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^(-log0.5(x - 1))

Шаг 8: Решение неравенства с отрицательной степенью Мы знаем, что 0.25^(-log0.5(x - 1)) = (1/0.25)^(log0.5(x - 1)), что равно 4^(log0.5(x - 1)).

Таким образом, неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 4^(log0.5(x - 1))

Шаг 9: Преобразуем неравенство в экспоненциальную форму Мы можем преобразовать неравенство, чтобы избавиться от логарифма:

2x^2 + 3x + 1 <= 10^(2log0.5(x - 1))

Шаг 10: Упрощаем выражение Мы знаем, что 10^(2log0.5(x - 1)) = 0.5^(2log0.5(x - 1)), что равно (0.5^2)^(log0.5(x - 1)), что равно 0.25^(log0.5(x - 1)).

Таким образом, неравенство становится:

2x^2 + 3x + 1 <= 0.25^(log0.5(x - 1))

Мы видим, что это та же самая сторона неравенства, что и в случае log0.5(x - 1) >= 0. Поэтому решение в этом случае будет таким же: x1 = -0.5 и x2 = -1.

Ответ: Решение данного неравенства состоит из двух корней: x1 = -0.5 и x2 = -1.