Question

1.Определить коллинеарны ли векторы p=2a+3b и q=a-b, где a=(-1;2;3) и b=(2;1;1)? 2.Даны вершины треугольника А(-1;2;-2),B(3;4;-5) и C(1;1;0) Найти угол при вершине А.

Answer 1

C₁ = 4(1; -2; 5) - 2(3; -1; 0) = (4; -8; 20) - (6; -2; 0) = (-2; -6; 20)
C₂ = (3; -1; 0) - 2(1; -2; 5) = (3; -1; 0) - (2; -4; 10) = (1; 3; -10)
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:
-2/1 = -6/3 = 20/-10 ⇔ -2 = -2 = -2
Да, коллинеарны.

Answer 2

1. Для определения коллинеарности векторов p и q, нужно проверить, существует ли такое число k, что вектор p равен q, умноженному на k. То есть, p = kq.

Найдем векторы a и b: a = (-1; 2; 3) b = (2; 1; 1)

Теперь найдем векторы p и q: p = 2a + 3b = 2(-1; 2; 3) + 3(2; 1; 1) = (-2; 4; 6) + (6; 3; 3) = (4; 7; 9) q = a - b = (-1; 2; 3) - (2; 1; 1) = (-1-2; 2-1; 3-1) = (-3; 1; 2)

Теперь проверим, существует ли такое число k, что p = kq: (4; 7; 9) = k(-3; 1; 2)

Для x-координат: 4 = -3k Для y-координат: 7 = k Для z-координат: 9 = 2k

Из уравнений видно, что k = 7, что означает, что векторы p и q коллинеарны.

2. Чтобы найти угол при вершине А треугольника ABC, можно воспользоваться формулой косинуса для нахождения угла между векторами AB и AC.

Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (3; 4; -5) - (-1; 2; -2) = (3+1; 4-2; -5+2) = (4; 2; -3) AC = C - A = (1; 1; 0) - (-1; 2; -2) = (1+1; 1-2; 0+2) = (2; -1; 2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и AC: AB • AC = 4*2 + 2*(-1) + (-3)*2 = 8 - 2 - 6 = 0

Теперь найдем длины векторов AB и AC: |AB| = √(4^2 + 2^2 + (-3)^2) = √(16 + 4 + 9) = √29 |AC| = √(2^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Теперь найдем косинус угла между векторами: cos(∠BAC) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|) = 0 / (√29 * 3) = 0

Так как косинус угла равен 0, то угол ∠BAC равен 90 градусов.