Question

(x^2-4x)^2-(x-2)^2-16<0 ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НЕРАВЕНСТВО

Answer 1

(х² -4х)² - (х-2)² -16 <0
(x² -4x +4 -4)² -(x-2)² -16<0
((x²-4x+4) -4)² - (x-2)² -16<0
((x-2)² -4)² - (x-2)² -16<0
x-2 = t
(t-4)² -t² -16<0
t² -8t +16 -t² -16<0
-8t<0
t>0    x-2>0  x>2
Ответ:(2; +∞) или  x>2

Answer 2

Давайте решим данное неравенство по порядку.

1. Разложим выражения в скобках:

(x^2-4x)^2 = x^4 - 8x^3 + 16x^2 (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4

2. Подставим эти выражения в исходное неравенство:

x^4 - 8x^3 + 16x^2 - (x^2 - 4x + 4) - 16 < 0

3. Упростим выражение:

x^4 - 8x^3 + 16x^2 - x^2 + 4x - 4 - 16 < 0 x^4 - 8x^3 + 15x^2 + 4x - 20 < 0

4. Перенесем все члены в левую часть неравенства:

x^4 - 8x^3 + 15x^2 + 4x - 20 + 0 < 0 x^4 - 8x^3 + 15x^2 + 4x - 20 < 0

5. Для решения данного неравенства можно использовать график функции или метод декомпозиции. В данном случае, неравенство можно решить методом декомпозиции, разбив выражение на множители:

(x^2 - 5x - 4)(x^2 - 3x + 5) < 0

6. Найдем корни уравнения вида x^2 - 5x - 4 = 0:

D = 5^2 - 4*1*(-4) = 25 + 16 = 41 x1,2 = (5 ± √41)/2

7. Найдем корни уравнения вида x^2 - 3x + 5 = 0:

D = 3^2 - 4*1*5 = 9 - 20 = -11 x1,2 = (3 ± √(-11))/2

8. Теперь построим таблицу знаков:

|---x---|---(-∞, (5 - √41)/2)---|---((5 - √41)/2, (3 - √(-11))/2)---|---((3 - √(-11))/2, (3 + √(-11))/2)---|---((3 + √(-11))/2, +∞)---| |---f(x)---|---+---|-------|---+---|-------|

9. Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при:

(5 - √41)/2 < x < (3 - √(-11))/2 или (3 + √(-11))/2 < x < (5 + √41)/2

Таким образом, решением неравенства будет:

(5 - √41)/2 < x < (3 - √(-11))/2 или (3 + √(-11))/2 < x < (5 + √41)/2