Question

Докажите тождество2sin2t/2+cost=1

Answer 1

2sin^2t/2+cost=1-cost+cost=1
1=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами для тригонометрических функций:

1. Формула удвоенного угла: sin(2t) = 2sin(t)cos(t) 2. Формула косинуса удвоенного угла: cos(2t) = cos^2(t) - sin^2(t)

Теперь подставим эти формулы в исходное тождество:

2sin^2(t) + cos(t) = 1

Теперь воспользуемся формулой для синуса удвоенного угла:

sin^2(t) = (1 - cos(2t))/2

Подставляем это значение в исходное тождество:

2*(1 - cos(2t))/2 + cos(t) = 1

Упрощаем выражение:

1 - cos(2t) + cos(t) = 1

Теперь преобразуем выражение, используя формулу для косинуса удвоенного угла:

cos(2t) = 2cos^2(t) - 1

Подставляем это значение в исходное тождество:

1 - (2cos^2(t) - 1) + cos(t) = 1

Упрощаем выражение:

2 - 2cos^2(t) + cos(t) = 1

Теперь преобразуем уравнение:

2cos^2(t) - cos(t) + 1 = 0

Это уравнение является квадратным относительно cos(t), и его решение можно найти с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4*2*1 D = 1 - 8 D = -7

Дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное тождество доказано.