Question

1)найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=(12-x)√x на отрезке [1;9] 2)y=1/3cos3x на отрезке [0;п/2]

Answer 1

Решение
1)  y=(12-x)√x на отрезке [1;9]
Находим первую производную функции:
y` = - √x + (12 - x)/2√x
или
y` = 1/2√x * (12 - 3x)
Приравниваем ее к нулю:
1/2√x * (12 - 3x) = 0
12 - 3x = 0
3x = 12
x = 4
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(4) = 16
f(1) = 11
f(9) = 9
Ответ: fmin = 9, fmax = 16
2)  y = 1/3cos3x на отрезке [0;π/2]
Находим первую производную функции:
y' = - sin(3x)
Приравниваем ее к нулю:
- sin(3x) = 0
x = 0
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 1/3
f(0) = 0.3333
f(π/2) = 0
Ответ: fmin = 0; fmax = 1/3

Answer 2

1) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=(12-x)√x на отрезке [1;9].

Для начала найдем производную функции y=(12-x)√x. Используем правило дифференцирования произведения и степенной функции:

y' = (12-x) * (1/2) * x^(-1/2) + (-1) * √x = (12-x) * (1/2) * x^(-1/2) - √x = 6 * x^(-1/2) - (1/2) * x^(-1/2) - √x = (5/2) * x^(-1/2) - √x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

(5/2) * x^(-1/2) - √x = 0 (5/2) * x^(-1/2) = √x 5 * x = 2 * √x 25 * x^2 = 4 * x 25 * x^2 - 4 * x = 0 x(25 * x - 4) = 0

Отсюда получаем две возможные точки экстремума: x = 0 и x = 4/25. Однако на отрезке [1;9] функция не определена при x = 0, поэтому рассматриваем только x = 4/25.

Теперь найдем значение функции в точках концах отрезка:

y(1) = (12-1)√1 = 11 y(9) = (12-9)√9 = 9

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [1;9] равно 11, а наименьшее значение равно 9.

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y=1/3cos3x на отрезке [0;п/2].

Для начала найдем производную функции y=1/3cos3x. Используем правило дифференцирования косинуса и константы:

y' = -1/3sin3x * 3 = -sin3x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

-sin3x = 0 3x = kπ, где k - целое число

Таким образом, точки экстремума находятся при x = kπ/3.

Теперь найдем значение функции в точках концах отрезка:

y(0) = 1/3cos(0) = 1/3 y(π/2) = 1/3cos(3*π/2) = -1/3

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0;п/2] равно 1/3, а наименьшее значение равно -1/3.