Question

Определите промежутки монотонности и экстремумы функции f(x)=1/3x^3+2x^2-5x-+1

Answer 1

-------------------------------------------------------------------

Answer 2

Для определения промежутков монотонности и экстремумов функции f(x) = (1/3)x^3 + 2x^2 - 5x - 1, нам понадобится проанализировать ее производную.

Производная функции

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого, возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx [(1/3)x^3] + d/dx [2x^2] - d/dx [5x] - d/dx [1]

Вычислим производные каждого слагаемого:

f'(x) = (1/3) * d/dx [x^3] + 2 * d/dx [x^2] - 5 * d/dx [x] - 0

f'(x) = (1/3) * 3x^2 + 2 * 2x - 5

f'(x) = x^2 + 4x - 5

Промежутки монотонности

Чтобы определить промежутки монотонности функции f(x), мы должны найти значения x, при которых производная f'(x) равна нулю или не определена, и проверить знак производной на каждом из этих промежутков.

Для начала, найдем точки, в которых производная равна нулю:

x^2 + 4x - 5 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня:

(x + 5)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки: x = -5 и x = 1.

Теперь, чтобы определить знак производной на каждом промежутке, мы можем выбрать тестовые точки в каждом интервале и проверить значение производной в этих точках.

Выберем тестовые точки: x = -6, x = 0, x = 2.

Подставим эти значения в производную функции f'(x) и определим знак:

При x = -6: f'(-6) = (-6)^2 + 4(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 Таким образом, на интервале (-∞, -5), производная положительна.

При x = 0: f'(0) = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 Таким образом, на интервале (-5, 1), производная отрицательна.

При x = 2: f'(2) = 2^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 Таким образом, на интервале (1, +∞), производная положительна.

Экстремумы

Чтобы найти экстремумы функции f(x), мы должны найти значения x, при которых производная f'(x) равна нулю или не определена, и проверить знак изменения производной в окрестности этих точек.

Мы уже нашли точки, в которых производная равна нулю: x = -5 и x = 1.

Проверим знак изменения производной в окрестности каждой из этих точек:

Для x < -5: f'(-6) = 7 (положительное значение)

Для -5 < x < 1: f'(0) = -5 (отрицательное значение)

Для x > 1: f'(2) = 7 (положительное значение)

Таким образом, у нас есть точка локального минимума в x = -5 и точка локального максимума в x = 1.

Итоговый результат

Итак, мы можем сделать следующие выводы:

- На интервале (-∞, -5) функция f(x) монотонно возрастает. - В точке x = -5 у функции f(x) есть локальный минимум. - На интервале (-5, 1) функция f(x) монотонно убывает. - В точке x = 1 у функции f(x) есть локальный максимум. - На интервале (1, +∞) функция f(x) монотонно возрастает.