Question

Объясните, пожалуйста, как мы перешли из первого в третье. Это решение из одной задачи, но я не могу увидеть связь, откуда появилось столько квадратов. 4cos²α=4(cos2 α/2)²=4(1-2sin²α/2)²

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ.

Answer 2

Разложение произведения косинусов

Для начала, давайте рассмотрим разложение произведения косинусов:

cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)

Это формула из тригонометрии, которая позволяет выразить косинус угла в терминах косинуса и синуса удвоенного угла.

Разложение косинуса в квадрате

Теперь, давайте посмотрим на разложение косинуса в квадрате:

cos²(α) = 1/2 (1 + cos(2α))

Это формула, которая позволяет выразить косинус в квадрате через косинус удвоенного угла.

Разложение косинуса угла в половине

Теперь, давайте рассмотрим разложение косинуса угла в половине:

cos(α/2) = ±√((1 + cos(α))/2)

Это формула, которая позволяет выразить косинус угла в половине через косинус угла.

Подстановка в исходное уравнение

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, давайте подставим их в исходное уравнение:

4cos²(α) = 4(cos(2α/2))² = 4(1 - 2sin²(α/2))²

Используя разложение произведения косинусов, мы заменяем cos²(α) на 1/2 (1 + cos(2α)):

4(1/2 (1 + cos(2α))) = 4(1 - 2sin²(α/2))²

Теперь используем разложение косинуса угла в половине, заменяя cos(α/2) на ±√((1 + cos(α))/2):

4(1/2 (1 + cos(2α))) = 4(1 - 2sin²(α/2))²

= 4(1 - 2(±√((1 + cos(α))/2))²)

= 4(1 - 2(1 + cos(α))/2)

= 4(1 - (1 + cos(α)))

= 4(1 - 1 - cos(α))

= 4(-cos(α))

Таким образом, мы получаем, что 4cos²(α) = 4(-cos(α)).

Резюме

Используя разложения произведения косинусов и косинуса в квадрате, а также разложение косинуса угла в половине, мы можем связать исходное уравнение 4cos²(α) = 4(cos(2α/2))² = 4(1 - 2sin²(α/2))² с результатом 4cos²(α) = 4(-cos(α)). Это объясняет, откуда появилось столько квадратов в вашем решении.