Question

ctgxcos5x = cos 6x + sin5x. нужно решить уравнение. пожалуйста, подробное решение. заранее спасибо!

Answer 1

Формула cos(a-b) = cosa*cosb + sina*sinb
У тебя a = 6x, b = 5x
Ответ: cos х

так

Answer 2

Для решения данного уравнения `ctg(x)cos(5x) = cos(6x) + sin(5x)`, мы будем использовать тригонометрические тождества и методы алгебры. Давайте начнем.

Первый шаг: Приведение к общему знаменателю

Начнем с приведения правой части уравнения к общему знаменателю. Мы знаем, что `ctg(x) = cos(x) / sin(x)`. Поэтому, уравнение можно переписать следующим образом:

`cos(x) / sin(x) * cos(5x) = cos(6x) + sin(5x)`

Второй шаг: Умножение на sin(x)

Чтобы избавиться от знаменателя sin(x), умножим обе части уравнения на sin(x):

`cos(x) * cos(5x) = sin(x) * (cos(6x) + sin(5x))`

Третий шаг: Применение тригонометрических тождеств

Теперь применим тригонометрические тождества для раскрытия скобок и упрощения уравнения. Используем следующие тождества:

- `cos(a) * cos(b) = (1/2) * (cos(a - b) + cos(a + b))` - `sin(a) * sin(b) = (1/2) * (cos(a - b) - cos(a + b))` - `cos(a) * sin(b) = (1/2) * (sin(a + b) + sin(a - b))`

Применим эти тождества к нашему уравнению:

`(1/2) * (cos(x - 5x) + cos(x + 5x)) = (1/2) * (sin(x + 6x) + sin(x - 6x) + sin(x + 5x) - sin(x - 5x))`

Упростим уравнение:

`(1/2) * (cos(-4x) + cos(6x)) = (1/2) * (sin(7x) + sin(-4x) + sin(6x) - sin(-5x))`

Четвертый шаг: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение, учитывая, что `cos(-a) = cos(a)` и `sin(-a) = -sin(a)`:

`(1/2) * (cos(4x) + cos(6x)) = (1/2) * (sin(7x) - sin(4x) + sin(6x) + sin(5x))`

Пятый шаг: Приведение подобных слагаемых

Для удобства приведем подобные слагаемые в уравнении:

`(1/2) * (cos(4x) + cos(6x)) = (1/2) * (sin(7x) + sin(5x) - sin(4x) + sin(6x))`

Шестой шаг: Умножение на 2

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

`cos(4x) + cos(6x) = sin(7x) + sin(5x) - sin(4x) + sin(6x)`

Седьмой шаг: Группировка слагаемых

Сгруппируем слагаемые по функциям cos и sin:

`(cos(4x) - sin(4x)) + (cos(6x) - sin(6x)) = sin(7x) + sin(5x)`

Восьмой шаг: Применение тригонометрического тождества

Применим тригонометрическое тождество `cos(a) - sin(a) = sqrt(2) * sin(a - 45°)` к первой группе слагаемых:

`sqrt(2) * sin(4x - 45°) + (cos(6x) - sin(6x)) = sin(7x) + sin(5x)`

Девятый шаг: Приведение к общему знаменателю

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю, используя тригонометрическое тождество `sin(a) + sin(b) = 2 * sin((a + b) / 2) * cos((a - b) / 2)`:

`sqrt(2) * sin(4x - 45°) + (cos(6x) - sin(6x)) = 2 * sin((7x + 5x) / 2) * cos((7x - 5x) / 2)`

Десятый шаг: Упрощение уравнения

Упростим уравнение:

`sqrt(2) * sin(4x - 45°) + (cos(6x) - sin(6x)) = 2 * sin(6x) * cos(x)`

Одиннадцатый шаг: Приведение подобных слагаемых

Приведем подобные слагаемые в уравнении:

`sqrt(2) * sin(4x - 45°) + cos(6x) - sin(6x) = 2 * sin(6x) * cos(x)`

Двенадцатый шаг: Перенос слагаемых

Перенесем слагаемые синусов на одну сторону уравнения, а слагаемые косинусов на другую:

`sqrt(2) * sin(4x - 45°) - sin(6x) = 2 * sin(6x) * cos(x) - cos(6x)`

Тринадцатый шаг: Применение тригонометрического тождества

Применим тригонометрическое тождество `sin(a) - sin(b) = 2 * cos((a + b) / 2) * sin((a - b) / 2)` к первой группе слагаемых:

`sqrt(2) * 2 * cos((4x - 45° + 6x) / 2) * sin((4x - 45° - 6x) / 2) = 2 * sin(6x) * cos(x) - cos(6x)`

Четырнадцатый шаг: Упрощение уравнения

Упростим уравнение:

`2 * sqrt(2) * cos(5x - 45°) * sin(-x - 45°) = 2 * sin(6x) * cos(x) - cos(6x)`

Пятнадцатый шаг: Применение тригонометрического тождества

Применим тригонометрическое тождество `sin(-a) = -sin(a)`:

`-2 * sqrt(2) * cos(5x - 45°) * sin(x + 45°) = 2 * sin(6x) * cos(x) - cos(6x)`

Шестнадцатый шаг: Приведение подобных слагаемых

Приведем подобные слагаемые в уравнении:

`-2 * sqrt(2) * cos(5x - 45°) * sin(x + 45°) = cos(6x) - 2 * sin(6x) * cos(x)`

Семнадцатый шаг: Перенос слагаемых

Перенесем слагаемые синусов на одну сторону уравнения, а слагаемые косинусов на другую:

`cos(6x) - 2 * sin(6x) * cos(x) + 2 * sqrt(2) * cos(5x - 45°) * sin(x + 45°) = 0`

Восемнадцатый шаг: Фактор