Question

Найти экстремумы функции. y=2x^3-3x^2

Answer 1

Решение
y=2x^3-3x^2
Находим производную
6x^2 - 3
Приравниваем её к нулю (находим критические точки(
6x^2  - 3 = 0
6x^2 = 3
x^2 = 1/2
x1 = -1/√2
x2= 1/√2
Проверяем знаки производной при переходе через критические точки
          +                                   -                                  +
--------------------------------------------------------------------------------------------->
                        -1/√2                                     1/√2                                   х
При переходе через точку (-1/√2) производная меняет знак с (+) на (-). Значит точка (-1/√2)   точка максимума.
уmax (-1√/2) = -1 
При переходе через точку (1/√2) производная меняет знак с (-) на (+). Значит точка (1/√2)   точка минимума.
уmin = (-1/√2)
.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции y = 2x^3 - 3x^2, нам нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Эти значения x будут соответствовать точкам, где функция достигает локального максимума или минимума.

Давайте начнем с вычисления производной функции y по x. Производная функции y = 2x^3 - 3x^2 может быть найдена путем применения правила степенной производной и суммы производных:

y' = d/dx (2x^3) - d/dx (3x^2)

Чтобы найти производную 2x^3, мы можем использовать правило степенной производной, которое гласит, что производная x^n равна n * x^(n-1). Применяя это правило, мы получаем:

y' = 6x^2 - 6x

Теперь у нас есть производная функции y. Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует, мы должны решить уравнение:

6x^2 - 6x = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

6x(x - 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 1.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти значения экстремумами, нам нужно проанализировать знак производной в окрестности каждой точки.

Для x = 0: Подставим x = 0 в производную: y' = 6(0)^2 - 6(0) = 0 Таким образом, производная равна нулю в точке x = 0. Это может быть точка экстремума.

Для x = 1: Подставим x = 1 в производную: y' = 6(1)^2 - 6(1) = 0 Также производная равна нулю в точке x = 1. Это также может быть точка экстремума.

Чтобы определить, являются ли эти точки локальными максимумами или минимумами, мы можем проанализировать знаки второй производной функции y. Вторая производная показывает, является ли функция выпуклой вверх (положительная вторая производная) или выпуклой вниз (отрицательная вторая производная) в окрестности каждой точки.

Для этого нам нужно вычислить вторую производную функции y. Производная производной функции y' = 6x^2 - 6x будет:

y'' = d/dx (6x^2 - 6x)

Используя правила производной, мы можем вычислить:

y'' = 12x - 6

Теперь, чтобы определить знак второй производной для каждой точки, мы подставим значения x = 0 и x = 1 в y''.

Для x = 0: y'' = 12(0) - 6 = -6 Вторая производная отрицательна для x = 0, поэтому эта точка может быть локальным максимумом.

Для x = 1: y'' = 12(1) - 6 = 6 Вторая производная положительна для x = 1, поэтому эта точка может быть локальным минимумом.

Таким образом, функция y = 2x^3 - 3x^2 имеет два экстремума: локальный максимум в точке x = 0 и локальный минимум в точке x = 1.