Question

4sinx-3cosx=5

Answer 1

$\\4\sin x-3\cos x=5\\\cos x =\sqrt{1-\sin^2x}\\4\sin x-3\sqrt{1-\sin^2x}=5\\4\sin x-5=3\sqrt{1-\sin^2x}\\16\sin^2x-40\sin x+25=9-9\sin^2x\\25\sin^2x-40\sin x+16=0\\\sin x=t,\quad t\in[-1;1]\\25t^2-40t+16=0\\D=1600-1600=0\\t=\frac{40}{50}=0,8\\\sin x = 0,8\\x=\arcsin0,8+2\pi n$

Можно точно так же решить и относительно косинуса, т.е. через представление синуса.

Answer 2

Уравнение 4sinx - 3cosx = 5+ можно решить несколькими способами, включая использование тригонометрических тождеств, графиков функций или численных методов. Однако, я могу попробовать решить это уравнение аналитически.

Приведение к виду sin(x ± α) = β

Мы можем начать с преобразования уравнения 4sinx - 3cosx = 5+ с использованием тригонометрических тождеств. Давайте представим cosx как sinx с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

4sinx - 3cosx = 5+ 4sinx - 3√(1-sin^2(x)) = 5+ 4sinx - 3√(1-sin^2(x)) - 5 = 0

Теперь мы можем представить √(1-sin^2(x)) как cosx и преобразовать уравнение к виду sinx и cosx:

4sinx - 3cosx - 5 = 0

Теперь давайте представим sinx и cosx через одну функцию, например, sin(x + α) = β, где α и β - это некоторые параметры.

Преобразование в sin(x ± α) = β

Мы можем использовать следующие тождества: sin(x ± α) = sin(x)cos(α) ± cos(x)sin(α) cos(x) = cos(α)cos(x) - sin(α)sin(x)

Теперь давайте попробуем представить уравнение 4sinx - 3cosx - 5 = 0 в виде sin(x + α) = β.

Решение с использованием sin(x + α) = β

Для начала представим sin(x + α) = β как новую переменную:

sin(x + α) = β 4sinx - 3cosx - 5 = 0

Теперь мы можем использовать тождество sin(x + α) = sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α) для преобразования уравнения:

sin(x)cos(α) + cos(x)sin(α) = β 4sinx - 3cosx - 5 = 0

После этого мы можем сравнить коэффициенты sinx и cosx с коэффициентами в выражении sin(x + α) для определения значений α и β.

Дальнейшие шаги

Это лишь один из подходов к решению данного уравнения. Другие методы, такие как графический анализ или численные методы, могут также быть применены для решения этого уравнения. Если вы хотите, чтобы я продолжил решение уравнения или использовал другой метод, пожалуйста, дайте мне знать!