Question

Розв'яжіть рівняння 1)4sin^ x-4cosx=1 2)2sin(3x-12π)-1=0

Answer 1

1
4-4cos²x-4cosx-1=0
cosx=a
4a²+4a-3=0
D=16+48=64
a1=(-4-8)/8=-12/8=-1,5⇒cosx=-1,5<-1 нет решения
a2=(-4+8)/8=0,5⇒cosx=0,5⇒x=+-π/3+2πn,n∈z
2
sin(3x-12π)=1/2
sin3x=1/2
3x=(-1)^n*π/6+πn
x=(-1)^n*π/18+πn/3,n∈z

Answer 2

1) Для розв'язання рівняння 4sin^2x - 4cosx = 1 спочатку перетворимо його за допомогою тригонометричних тотожностей: 4(1 - cos^2x) - 4cosx = 1 4 - 4cos^2x - 4cosx = 1 4cos^2x + 4cosx - 3 = 0

Тепер зробимо заміну змінної: t = cosx Тоді рівняння стане квадратним: 4t^2 + 4t - 3 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння за допомогою дискримінанту: D = 4^2 - 4*4*(-3) = 16 + 48 = 64 t1,2 = (-4 ± √64)/(2*4) = (-4 ± 8)/8 t1 = 1, t2 = -3/2

Отже, ми знайшли два значення t. Тепер повернемося до заміни змінної: t1 = cosx => x1 = arccos(1) = 0 t2 = cosx => x2 = arccos(-3/2) - такого значення косинуса не існує в межах звичайної області визначення, тому рівняння не має розв'язків.

2) Для розв'язання рівняння 2sin(3x-12π)-1=0 спочатку розв'яжемо його для sin(3x-12π): 2sin(3x-12π) = 1 sin(3x-12π) = 1/2

Знаходимо значення аргументу для якого sin дорівнює 1/2: 3x-12π = π/6 + 2πk або 3x-12π = 5π/6 + 2πk 3x = 12π + π/6 + 2πk або 3x = 12π + 5π/6 + 2πk x = 4π + π/18 + 2πk/3 або x = 4π + 5π/18 + 2πk/3

Отже, рівняння має безліч розв'язків у вигляді x = 4π + π/18 + 2πk/3 і x = 4π + 5π/18 + 2πk/3, де k - ціле число.