Question

Решите неравенство с модулем: //361-х²/-/х²+35х+304//-19*/х+19/≥0

Answer 1

Общая схема решения неравенств с модулем:
1. найти корни выражений под модулем
в нашем случае три корня, следовательно нужно рассмотреть четыре промежутка
2. на каждом промежутке по определению раскрыть модули и
найти пересечение решений получившегося неравенства и данного промежутка
ответом будет объединение решений на всех промежутках )))

Answer 2

Для решения данного неравенства с модулем, нам нужно разбить его на несколько случаев, учитывая знак модуля.

1. Если \(x \leq 19\), то модуль \(|x-19| = 19-x\). 2. Если \(x > 19\), то модуль \(|x-19| = x-19\).

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если \(x \leq 19\), то неравенство примет вид: \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} - \frac{19}{x} \geq 0\)

2. Если \(x > 19\), то неравенство примет вид: \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} + \frac{19}{x} \geq 0\)

Далее решаем каждое из уравнений неравенства отдельно.

1. Для \(x \leq 19\): \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} - \frac{19}{x} \geq 0\)

Сначала найдем корни знаменателя: \(x^2-35x+304 = 0\) \((x-19)(x-16) = 0\) Отсюда получаем, что \(x_1 = 19\) и \(x_2 = 16\).

Теперь определяем знаки выражения \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304}\) и \(\frac{19}{x}\) на каждом из интервалов, которые образовались корнями знаменателя.

Для интервала \((-\infty, 16)\): \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} - \frac{19}{x} > 0\) при \(x \in (-\infty, 16)\)

Для интервала \((16, 19)\): \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} - \frac{19}{x} < 0\) при \(x \in (16, 19)\)

Таким образом, решением данного неравенства на интервале \(x \leq 19\) будет \(x \in (-\infty, 16) \cup (16, 19)\).

2. Для \(x > 19\): \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} + \frac{19}{x} \geq 0\)

Аналогично, найдем знаки выражения на интервалах, образованных корнями знаменателя.

Для интервала \((19, +\infty)\): \(\frac{361-x^2}{x^2-35x+304} + \frac{19}{x} > 0\) при \(x \in (19, +\infty)\)

Таким образом, решением данного неравенства на интервале \(x > 19\) будет \(x \in (19, +\infty)\).

Итак, решением исходного неравенства будет объединение решений на интервалах \(x \in (-\infty, 16) \cup (16, 19) \cup (19, +\infty)\).