Question

Доказать неравенство

Answer 1

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$
-----------
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b} +1 \geq \frac{3}{2}+3$
-----------
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+c} \geq \frac{9}{2}$
--------------------
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
----------
$(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2})(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \frac{9}{2}$
-----------------
$((a+b)+(b+c)+(a+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9$ (*)
учитывая неравенство между средними арифметическим и средним геометрический для трех положительных чисел
$A+B+C \geq 3 \sqrt[3] {ABC}$
получим
что
$((a+b)+(a+c)+(b+c)) (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq \\\\3\sqrt[3] {(a+b)(a+c)(b+c)}*3 \sqrt{\frac{1}{(a+b)(b+c)(a+c)}}=9$
т.е. справедливость неравенства (*) тождественного исходному.
Доказано

Answer 2

Я могу помочь вам с доказательством неравенств, но для этого мне нужно знать, какое именно неравенство вы хотите доказать. Пожалуйста, введите неравенство в виде математического выражения, используя LaTeX. Например, если вы хотите доказать неравенство $x^2 + y^2 \geq 2xy$, то введите:

`$$x^2 + y^2 \geq 2xy$$`

Я постараюсь найти подходящий способ доказательства и объяснить его вам подробно. Если вы не знаете, как пользоваться LaTeX, вы можете посмотреть [этот руководство](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/) или [этот калькулятор](https://www.algebraclass.ru/dokazatelstvo-neravenstv/).