Question

Доведіть, що число 6255^3-5995^3 ділиться на 65.

Answer 1

Використовуючи формулу різниці кубів
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
отримаємо
$6255^3-5995^3=(6255-5995)*(6255^2+6255*5995+5995^2)=\\\\260*(6255^2+6255*5995+5995^2)=\\\\65*4*(6255^2+6255*5995+5995^2)$
а значить дане число кратне 65. Доведено

Answer 2

Щоб довести, що число 6255^3 - 5995^3 ділиться на 65, ми можемо скористатися властивостями ділення націло та факторизації чисел.

Факторизація числа 65

Спочатку розкладемо число 65 на прості множники. Число 65 можна розкласти на добуток простих чисел 5 та 13: 65 = 5 * 13.

Властивість ділення націло

Якщо число a ділиться на число b, то різниця a^3 - b^3 також ділиться на b.

Доведення

Ми знаємо, що число 6255^3 - 5995^3 є різницею кубів двох чисел. Тобто, 6255^3 - 5995^3 = (6255 - 5995)(6255^2 + 6255 * 5995 + 5995^2).

Тепер розглянемо перший добуток (6255 - 5995). Це різниця двох чисел, яка дорівнює 260. Ми можемо перевірити, чи ділиться це число на 65, розклавши 260 на прості множники: 260 = 2 * 2 * 5 * 13. Оскільки 260 містить множник 5 * 13, який також міститься у факторизації числа 65, то число 260 ділиться на 65.

Таким чином, за властивістю ділення націло, ми можемо стверджувати, що різниця (6255^3 - 5995^3) ділиться на 65.

Висновок

Число 6255^3 - 5995^3 ділиться на 65, оскільки 65 є спільним множником різниці кубів цих чисел.