Question

Решите биквадратное уравнение х^4-24х^2-25=0

Answer 1

Все  просто  Считаем  для  начала, что наше неизвестное    -  квадрат  х  (> =0 )
x^2=t   t^2-24t-25=0   t=12+13=25 (12 5 13 -  пифагорова  тройка) x1=-5 x2=5

Answer 2

Решение биквадратного уравнения

Для решения биквадратного уравнения \(x^4 - 24x^2 - 25 = 0\), мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы привести уравнение к квадратному виду.

Пусть \(u = x^2\)

Тогда уравнение примет вид:

\(u^2 - 24u - 25 = 0\)

Решение квадратного уравнения

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной \(u\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение \(au^2 + bu + c = 0\) с помощью дискриминанта и формулы корней.

Нахождение дискриминанта

Дискриминант \(D\) для уравнения \(au^2 + bu + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Вычисление дискриминанта

В нашем случае, у нас есть уравнение \(u^2 - 24u - 25 = 0\), поэтому:

\[a = 1, b = -24, c = -25\]

\[D = (-24)^2 - 4*1*(-25)\]

\[D = 576 + 100\]

\[D = 676\]

Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь, используя найденный дискриминант, мы можем вычислить корни квадратного уравнения:

\[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[u_{1,2} = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2}\]

\[u_1 = \frac{24 + 26}{2} = 25\]

\[u_2 = \frac{24 - 26}{2} = -1\]

Возвращение к переменной x

Теперь, когда у нас есть значения \(u\), мы можем вернуться к переменной \(x\) по формуле \(u = x^2\), получив два уравнения:

\[x^2 = 25\] \[x^2 = -1\]

Нахождение корней итогового уравнения

Решая эти уравнения, мы получаем:

\[x_1 = \sqrt{25} = 5\] \[x_2 = -\sqrt{25} = -5\] \[x_3 = \sqrt{-1}\] (нет вещественного решения) \[x_4 = -\sqrt{-1}\] (нет вещественного решения)

Ответ

Таким образом, у нас есть четыре корня биквадратного уравнения \(x^4 - 24x^2 - 25 = 0\):

\[x_1 = 5\] \[x_2 = -5\]

Уравнение также имеет комплексные корни, которые мы можем выразить в виде комплексных чисел, но в контексте вещественных чисел, решение будет состоять из двух вещественных корней: 5 и -5.