Question

Решите неравенство: 4sinxcosx<1

Answer 1

2sin2x<1

sin2x<1/2

-π/6<2x<π/6

-π/12<x<π/12

x∈(-π/12;π/12)

Answer 2

Для решения неравенства 4sin(x)cos(x) < 1, мы можем использовать различные методы. Один из таких методов - использование тригонометрических тождеств. Давайте посмотрим, как мы можем применить это к нашему неравенству.

Применение тригонометрических тождеств

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Мы можем использовать это тождество, чтобы преобразовать наше неравенство.

Итак, наше неравенство 4sin(x)cos(x) < 1 можно записать как (2sin(x)cos(x))² < 1. После этого мы можем использовать квадратный корень, чтобы избавиться от квадрата нашего выражения.

√((2sin(x)cos(x))²) < √1

2sin(x)cos(x) < 1

Решение неравенства

Теперь у нас есть новое неравенство 2sin(x)cos(x) < 1. Давайте разберемся, как его решить.

1. Шаг 1: Рассмотрим тривиальный случай, когда sin(x) = 0 или cos(x) = 0. Если sin(x) = 0, то неравенство принимает вид 0 < 1, что выполняется. Если cos(x) = 0, тогда неравенство принимает вид 0 < 1, что также выполняется. Таким образом, решениями неравенства в этом случае будут все значения x, для которых sin(x) = 0 или cos(x) = 0.

2. Шаг 2: Рассмотрим случай, когда sin(x) и cos(x) не равны нулю. Разделим обе части неравенства на 2cos(x):

2sin(x)cos(x) / 2cos(x) < 1 / 2cos(x)

sin(x) < 1 / 2cos(x)

3. Шаг 3: Рассмотрим два подслучая в зависимости от значения cos(x):

a. Если cos(x) > 0, то неравенство остается без изменений:

sin(x) < 1 / 2cos(x)

b. Если cos(x) < 0, то мы должны изменить знак неравенства при делении на отрицательное число:

sin(x) > 1 / 2cos(x)

4. Шаг 4: Теперь мы можем рассмотреть значения sin(x) в зависимости от x в диапазоне [0, 2π]. Мы можем использовать график функции sin(x) и учесть ограничения, которые мы получили в шаге 3.

a. При cos(x) > 0, неравенство sin(x) < 1 / 2cos(x) выполняется для всех значений x в диапазоне [0, 2π], когда sin(x) < 1 / 2.

b. При cos(x) < 0, неравенство sin(x) > 1 / 2cos(x) выполняется для всех значений x в диапазоне [0, 2π], когда sin(x) > 1 / 2.

5. Шаг 5: Запишем решения неравенства:

a. Для случая cos(x) > 0: - Если sin(x) < 1 / 2, то решениями неравенства будут все значения x в диапазоне [0, 2π], для которых sin(x) < 1 / 2. - Если sin(x) = 1 / 2, то решение будет состоять из единственной точки x = π/6. - Если sin(x) > 1 / 2, то решений в этом случае нет.

b. Для случая cos(x) < 0: - Если sin(x) < 1 / 2, то решений в этом случае нет. - Если sin(x) = 1 / 2, то решениями неравенства будут все значения x в диапазоне [0, 2π], для которых sin(x) > 1 / 2. - Если sin(x) > 1 / 2, то решениями неравенства будут все значения x в диапазоне [0, 2π], для которых sin(x) > 1 / 2.

Таким образом, решениями исходного неравенства 4sin(x)cos(x) < 1 будут все значения x, удовлетворяющие полученным ограничениям в зависимости от значения cos(x) и sin(x) в диапазоне [0, 2π].