Question

Запишите уравнение касательной к графику f(х)=х/4+х2 параллельной прямой 4у=х-1

Answer 1

Использовано: уравнение касательной, определение углового коэффициента, производная степенно функции

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x/4 + x^2, параллельной прямой 4y = x - 1, мы должны сначала найти производную функции f(x) и использовать ее для определения углового коэффициента касательной.

Нахождение производной функции f(x)

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого продифференцируем каждый член функции по отдельности. Производная функции f(x) будет равна сумме производных каждого члена:

f(x) = x/4 + x^2

Дифференцируем каждый член по отдельности:

f'(x) = (1/4)*(d/dx)x + (d/dx)(x^2)

f'(x) = 1/4 + 2x

Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке x = a будет равен значению производной f'(x) в этой точке. Для нашего случая, мы хотим, чтобы касательная была параллельна прямой 4y = x - 1. Прямая имеет угловой коэффициент 1/4.

Таким образом, мы ищем точку, в которой f'(x) равна 1/4. Решим уравнение:

1/4 = 1/4 + 2x

Упростим:

0 = 2x

x = 0

Нахождение уравнения касательной

Теперь, когда мы знаем, что касательная проходит через точку (0, f(0)), мы можем использовать это значение, чтобы найти уравнение касательной. Подставим x = 0 в исходную функцию f(x):

f(0) = 0/4 + 0^2 = 0

Таким образом, точка (0, 0) лежит на касательной.

Теперь у нас есть точка (0, 0) и угловой коэффициент 1/4 для уравнения касательной. Используем уравнение прямой вида y = mx + b, где m - угловой коэффициент и b - смещение:

y = (1/4)x + b

Подставим координаты точки (0, 0):

0 = (1/4)*0 + b

b = 0

Таким образом, уравнение касательной к графику f(x) = x/4 + x^2, параллельной прямой 4y = x - 1, будет:

y = (1/4)x

Таким образом, уравнение касательной к графику f(x) = x/4 + x^2, параллельной прямой 4y = x - 1, будет y = (1/4)x.