Question

Помогите пожалуйста!!! СРОЧНО!!! Нужно найти интервала вогнутости и выпуклости: f(x)=x^4-2x^3+36x^2-x+7

Answer 1

f'=4x^3-6x^2+72x-1

f''=12x^2-12x+72

f''=0

x^2-x-6=0

x1=3

x2=-2

(-2;3) f''<0 кривая выпукла

x<-2 U x>3 f''>0  кривая вогнута

Answer 2

f '[x] = 6x^2-6x-36 = 0 
x^2 -x-6 =0
(x -3)(x +2) =0
x=3, -2
f[3] = 2 * 3^3 -3 * 3^2 -36 * 3 = 2 *27 -27- 108 = -81
f ''[x] = 12 x -6
f ''[3] = 36-6 = 30 > {3, -81} 
f[-2] = 2 * (-2)^3 -3 (-2)^2 +72 = -16-12+72 = 44 
f ''[-2] = 12*-2-6 =-30 <0  {-2,44} 
f''[x] = 12x-6=0 -> x=1/2 
f[1/2] = 2 * (1/2)^3-3 (1/2)^2-18 = 1/4-3/4 -18 = -37/2

{1/2 ,-37/2} 

Answer 3

Для нахождения интервалов вогнутости и выпуклости функции f(x) = x^4 - 2x^3 + 36x^2 - x + 7, мы должны анализировать вторую производную этой функции.

Нахождение первой производной:

Для начала найдем первую производную функции f(x). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности: f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 72x - 1

Нахождение второй производной:

Теперь найдем вторую производную, взяв производную первой производной: f''(x) = 12x^2 - 12x + 72

Анализ интервалов вогнутости и выпуклости:

Теперь найдем значения x, для которых вторая производная равна нулю: 12x^2 - 12x + 72 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или путем факторизации. Если мы решим квадратное уравнение, получим два значения x. Если мы факторизуем, получим два линейных множителя, равных (2x - 6) и (x - 6).

12x^2 - 12x + 72 = 0 4x^2 - 4x + 24 = 0 (2x - 6)(x - 6) = 0

Таким образом, мы получаем два значения x: x = 6 и x = 3/2.

Интервалы вогнутости и выпуклости:

Теперь мы можем использовать эти значения x, чтобы определить интервалы вогнутости и выпуклости функции.

Для этого мы можем выбрать значения x из каждого интервала и подставить их во вторую производную. Если значение второй производной положительное, то функция выпуклая на этом интервале. Если значение второй производной отрицательное, то функция вогнута на этом интервале.

Давайте рассмотрим несколько интервалов:

1. Интервал (-∞, 3/2): Подставим x = 1 во вторую производную: f''(1) = 12(1)^2 - 12(1) + 72 = 72 - 12 + 72 = 132 Значение второй производной положительное, поэтому функция выпукла на этом интервале.

2. Интервал (3/2, 6): Подставим x = 4 во вторую производную: f''(4) = 12(4)^2 - 12(4) + 72 = 192 - 48 + 72 = 216 Значение второй производной положительное, поэтому функция выпукла на этом интервале.

3. Интервал (6, +∞): Подставим x = 7 во вторую производную: f''(7) = 12(7)^2 - 12(7) + 72 = 588 - 84 + 72 = 576 Значение второй производной положительное, поэтому функция выпукла на этом интервале.

Таким образом, функция f(x) = x^4 - 2x^3 + 36x^2 - x + 7 является выпуклой на интервалах (-∞, 3/2), (3/2, 6) и (6, +∞).