Question

Решите систему неравенств 0<(x-2)²<25 и (x²+4x+4)/(x+1)≥0 . В ответ запишите количество целых решений данной системы

Answer 1

Первое неравенство системы: извлекаем корень из всех частей неравенства:
0< | x-2 | < 5,
так как | x-2 | ≥0 при любом х, то  |x-2| > 0 при всех х, х≠2
 неравенство  | x-2 | <5  равносильно двойному неравенству :
 -5< x-2 <5,     или прибавим 2 ко всем частям неравенства
-3 < x <7     и  х≠2
(-3;2)U(2;7) 

В числителе второго неравенства х²+4х+4=(х+2)²≥0 при всех х причем при х=-2 числитель равен нулю
Дробь неотрицательна, числитель неотрицательный, значит знаменатель положителен, т.е.
 х + 1 >0    или 
 х > -1
 или (-1;+∞)
Решением второго неравенства является множество: {-2}U(-1;+∞)
Пересечение двух  множеств:  (-3;2)U(2;7)   и  {-2}U(-1;+∞)   и будет решением системы неравенств:
{-2} U (-1;2) U (2;7)
Целые решения системы: -2; 0;1;3;4;5;6  - всего 7 целых решений
 

Answer 2

Решение системы неравенств

Для начала рассмотрим первое неравенство: 0 < (x-2)² < 25.

1. Начнем с того, что (x-2)² не может быть отрицательным числом, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Поэтому нам нужно найти значения x, для которых (x-2)² лежит в интервале от 0 до 25.

2. Решим это неравенство: - Для (x-2)² > 0: это выполняется для всех x, кроме x = 2. - Для (x-2)² < 25: это выполняется для всех x, удовлетворяющих условиям -5 < x < 7.

Теперь перейдем ко второму неравенству: (x²+4x+4)/(x+1) ≥ 0.

1. Найдем значения x, для которых выражение (x²+4x+4)/(x+1) неотрицательно. 2. Решим это неравенство: - (x²+4x+4)/(x+1) ≥ 0: это выполняется для всех x, кроме x = -1.

Количество целых решений

Теперь найдем количество целых решений данной системы неравенств.

1. Для первого неравенства (0 < (x-2)² < 25) у нас есть бесконечное количество целых решений, так как интервал от -5 до 7 включает в себя бесконечное количество целых чисел. 2. Для второго неравенства ((x²+4x+4)/(x+1) ≥ 0) у нас также есть бесконечное количество целых решений, за исключением x = -1.

Таким образом, количество целых решений данной системы неравенств равно бесконечности.