Question

Реши методом интервалов: 1) (x+1)(x-4)>0 2) (x-2)(x+5)(x-5)<=0 3) x^3-16x^2>0 4) x-6/x+8<0 5) (x+3)(x+9)/x-2>=0

Answer 1

1) (x+1)(x-4)>0
x=-1  x=4
x∈(-∞;-1) U (4;∞)
2) (x-2)(x+5)(x-5)<=0
x=2  x=5  x=-5
           _                +                  _                +
---------------[-5]-----------[2]--------------[5]---------------
x∈(-∞;-5] U [2;5]
3) x^3-16x^2>0
x²(x-16)>0
x=0  x=16
       _              _             +
----------(0)------------(16)-----------
x∈(16;∞)
4) (x-6)/(x+8)<0
x=6  x=8
x∈(6;8)
5) (x+3)(x+9)/(x-2)>=0
x=-3  x=-9  x=2
       _                +              _                  +
-----------[-9]---------[-3]-------------(2)-------------------
x∈[-9;-3] U (2;∞)

Answer 2

1) (x+1)(x-4)>0 Для начала найдем корни уравнения (x+1)(x-4)=0: x+1=0 => x=-1 x-4=0 => x=4 Теперь разделим ось чисел на три интервала: (-бесконечность, -1), (-1, 4), (4, +бесконечность). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: Для x=-2: (-2+1)(-2-4)=(-1)(-6)=6>0 Для x=0: (0+1)(0-4)=(1)(-4)=-4<0 Для x=5: (5+1)(5-4)=(6)(1)=6>0 Таким образом, решением неравенства (x+1)(x-4)>0 является x<-1 или x>4.

2) (x-2)(x+5)(x-5)<=0 Найдем корни уравнения (x-2)(x+5)(x-5)=0: x-2=0 => x=2 x+5=0 => x=-5 x-5=0 => x=5 Разделим ось чисел на четыре интервала: (-бесконечность, -5), (-5, 2), (2, 5), (5, +бесконечность). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: Для x=-6: (-6-2)(-6+5)(-6-5)=(-8)(-1)(-11)=88>0 Для x=0: (0-2)(0+5)(0-5)=(-2)(5)(-5)=50>0 Для x=3: (3-2)(3+5)(3-5)=(1)(8)(-2)=-16<0 Таким образом, решением неравенства (x-2)(x+5)(x-5)<=0 является -5<=x<=2.

3) x^3-16x^2>0 Факторизуем выражение: x^2(x-16)>0 Найдем корни уравнения x^2(x-16)=0: x^2=0 => x=0 x-16=0 => x=16 Разделим ось чисел на три интервала: (-бесконечность, 0), (0, 16), (16, +бесконечность). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: Для x=-1: (-1)^3-16(-1)^2=-1-16=-17<0 Для x=1: 1^3-16*1^2=1-16=-15<0 Для x=17: 17^3-16*17^2=4913-4624=289>0 Таким образом, решением неравенства x^3-16x^2>0 является x<0 или x>16.

4) x-6/x+8<0 Для начала найдем корень уравнения x-6/x+8=0: x-6=0 => x=6 Разделим ось чисел на два интервала: (-бесконечность, 6), (6, +бесконечность). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: Для x=5: 5-6/5+8=-1/13<0 Для x=7: 7-6/7+8=1/15>0 Таким образом, решением неравенства x-6/x+8<0 является x<6.

5) (x+3)(x+9)/x-2>=0 Для начала найдем корень уравнения (x+3)(x+9)/x-2=0: x+3=0 => x=-3 x+9=0 => x=-9 x-2=0 => x=2 Разделим ось чисел на четыре интервала: (-бесконечность, -9), (-9, -3), (-3, 2), (2, +бесконечность). Выберем по одному значению из каждого интервала и подставим их в исходное неравенство: Для x=-10: (-10+3)(-10+9)/-10-2=(-7)(-1)/-12=7/12>0 Для x=-5: (-5+3)(-5+9)/-5-2=(-2)(4)/-7=-8/-7<0 Для x=0: (0+3)(0+9)/0-2=(3)(9)/-2=-27<0 Для x=3: (3+3)(3+9)/3-2=(6)(12)/1=72>0 Таким образом, решением неравенства (x+3)(x+9)/x-2>=0 является x<=-9 или -3<=x<=2.