Question

Sin^4a+2cos a sin a-cos^4a ------------------------------------------ 2cos^2 a-1

Answer 1

$(Sin^4 \alpha +2cos \alpha sin \alpha -cos^4 \alpha )/(2cos^2 \alpha -1)= \\ = \frac{(sin^2 \alpha +cos^2 \alpha )(sin^2 \alpha -cos^2 \alpha )+sin2 \alpha }{cos^2 \alpha -sin^2 \alpha } = \frac{sin2 \alpha -cos2 \alpha }{cos2 \alpha } =tg2 \alpha -1$

Answer 2

Для начала, давайте разложим выражение на более простые части и упростим его.

Выражение, которое у нас есть, это:

sin^4a + 2cos(a) + sin(a) - cos^4a - 2cos^2(a) + 1

Давайте посмотрим на каждую часть по отдельности и упростим ее.

Упрощение sin^4a и cos^4a

sin^4a и cos^4a можно представить как квадраты sin^2a и cos^2a соответственно.

Таким образом, выражение может быть переписано следующим образом:

(sin^2a)^2 + 2cos(a) + sin(a) - (cos^2a)^2 - 2cos^2(a) + 1

Упрощение 2cos(a) и sin(a)

Теперь давайте упростим 2cos(a) + sin(a).

У нас нет других частей с cos(a) или sin(a), поэтому мы можем просто сложить их:

2cos(a) + sin(a) = cos(a) + cos(a) + sin(a) = 2cos(a) + sin(a)

Упрощение 2cos^2(a)

Далее, упростим 2cos^2(a).

Мы можем представить cos^2(a) с помощью тригонометрической тождества cos^2(a) = 1 - sin^2(a).

Таким образом, 2cos^2(a) можно переписать следующим образом:

2cos^2(a) = 2(1 - sin^2(a)) = 2 - 2sin^2(a)

Упрощение выражения

Теперь, учитывая все упрощения, наше исходное выражение можно переписать следующим образом:

(sin^2a)^2 + 2cos(a) + sin(a) - (cos^2a)^2 - 2cos^2(a) + 1

Подставим упрощенные выражения:

(sin^2a)^2 + 2cos(a) + sin(a) - (cos^2a)^2 - 2cos^2(a) + 1

= (sin^2a)^2 - (cos^2a)^2 + 2cos(a) + sin(a) - 2cos^2(a) + 1

Теперь, используем тождество sin^2(a) - cos^2(a) = sin(2a), чтобы упростить выражение еще больше:

= sin(2a) + 2cos(a) + sin(a) - 2cos^2(a) + 1

Итоговое упрощенное выражение

Таким образом, исходное выражение:

sin^4a + 2cos(a) + sin(a) - cos^4a - 2cos^2(a) + 1

может быть упрощено до:

sin(2a) + 2cos(a) + sin(a) - 2cos^2(a) + 1

Это и есть окончательное упрощенное выражение.