Question

Решите систему уравнений: х^2-4ху+у^2=6 5-ху=0

Answer 1

Первое уравнение переделаем в следующий вид

$(x-y)^2-2xy=6$

Подставим значение из второго уравнения $xy=5$ в первое преобразованное уравнение, тогда получается

$(x-y)^2-2xy=(x-y)^2-2*5$

$(x-y)^2-10=6$

$(x-y)^2=16$

Здесь возможны два случая

$1) (x-y)=4$ и $2) (x-y)=-4$

Получаются две системы уравнений.

1) решим первый случай

$1) x=y+4$

Подставляем во второе уравнение исходной системы

$(y+4)y=5$

$y^2+4y-5=0$

корнями уравнения будут $y_1=-5$,  $y_2=1$.

Значит $x_1=4+y_1$$x_1=-1$

$x_2=4+y_2$$x_2=5$

Двумя парами ответов будут $(-1; -5)$ и $(5; 1)$.

2) решим второй случай

$(y-4)y=5$

$y^2-4y-5=0$

корнями уравнения будут $y_3=-1$,  $y_4=5$.

Значит $x_3=-4+y_3$$x_4=-4+y_4$

$x_3=-5$$x_4=1$

Двумя парами ответов будут $(-5; -1)$ и $(1; 5)$.

Все решения проходят ОДЗ и при подстановке дают верные ответы

 

Ответ 4 пары решения $(-1; -5)$ и $(5; 1)$, $(-5; -1)$ и $(1; 5)$.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений сначала заменим второе уравнение в системе, чтобы оно было выражено через одну переменную. Затем подставим это выражение в первое уравнение и решим получившееся квадратное уравнение.

Исходная система уравнений: 1) x^2 - 4xy + y^2 = 6 2) 5 - xy = 0

Заметим, что второе уравнение можно переписать в виде xy = 5.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение: x^2 - 4xy + y^2 = 6 x^2 - 4(5) + y^2 = 6 x^2 - 20 + y^2 = 6 x^2 + y^2 - 20 = 6 x^2 + y^2 = 26

Теперь у нас есть система уравнений: 1) x^2 + y^2 = 26 2) xy = 5

Мы можем решить эту систему графически или алгебраически. Давайте воспользуемся алгебраическим методом.

Решение алгебраическим методом:

Для начала рассмотрим уравнение xy = 5. Мы можем выразить одну переменную через другую. Пусть x = 5/y. Подставим это выражение в первое уравнение:

(5/y)^2 + y^2 = 26 25/y^2 + y^2 = 26

Умножим обе части уравнения на y^2, чтобы избавиться от знаменателя:

25 + y^4 = 26y^2

Теперь получившееся уравнение является квадратным относительно y^2. Перенесем все члены в одну сторону и получим:

y^4 - 26y^2 + 25 = 0

Это квадратное уравнение относительно y^2. Решим его.

Для удобства введем новую переменную z = y^2. Теперь у нас есть уравнение:

z^2 - 26z + 25 = 0

Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -26 и c = 25. Применяя квадратное уравнение, получим два возможных значения для z:

z1 = 1 z2 = 25

Теперь мы можем найти соответствующие значения для y, используя z = y^2:

y1 = sqrt(z1) = sqrt(1) = 1 y2 = sqrt(z2) = sqrt(25) = 5

Теперь, когда у нас есть значения для y, мы можем найти соответствующие значения для x, используя второе уравнение xy = 5:

x1 = 5/y1 = 5/1 = 5 x2 = 5/y2 = 5/5 = 1

Таким образом, решением системы уравнений являются две пары значений (x, y): (5, 1) и (1, 5).