Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение tgx-sin2x=0

Answer 1

Tgx-sin2x=0
sinx/cosx-2sinxcosx=0/*cosx
sinx-2sinxcos²x=0
sinx(1-2cos²x)=0
sinx=0
x=πn

1-2cos²x=0
cos²x=1/2
cosx=√2/2
x=π/4+2πn, x=-π/4+2πn

cosx=-√2/2
x=3π/4+2πn, x=-3π/4+2πn

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения `tg(x) - sin^2(x) = 0`, мы будем использовать свойства тангенса и синуса, а также некоторые тригонометрические идентичности.

Давайте начнем. Наша цель - найти все значения переменной x, которые удовлетворяют уравнению.

Применение тригонометрических идентичностей

Перепишем уравнение, заменив тангенс через синус и косинус:

`sin(x)/cos(x) - sin^2(x) = 0`

Теперь, чтобы упростить уравнение, умножим обе части на `cos(x)`:

`sin(x) - sin^2(x) * cos(x) = 0`

Факторизация и решение

Давайте факторизуем полученное уравнение:

`sin(x) * (1 - sin(x) * cos(x)) = 0`

Теперь мы имеем два множителя, которые могут равняться нулю:

1. `sin(x) = 0` 2. `1 - sin(x) * cos(x) = 0`

Решение `sin(x) = 0`

Первое уравнение `sin(x) = 0` имеет решения при `x = kπ`, где `k` - целое число.

Решение `1 - sin(x) * cos(x) = 0`

Для решения второго уравнения `1 - sin(x) * cos(x) = 0`, мы должны решить квадратное уравнение относительно `sin(x)`.

Раскроем `sin(x) * cos(x)` с использованием тригонометрической идентичности `sin(2x) = 2sin(x)cos(x)`:

`1 - 2sin^2(x) = 0`

Теперь перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

`2sin^2(x) - 1 = 0`

Для решения этого уравнения, применим формулу дискриминанта:

`D = b^2 - 4ac`

где `a = 2`, `b = 0` и `c = -1`.

Вычислим дискриминант:

`D = 0^2 - 4 * 2 * (-1) = 8`

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

`sin(x) = (-b ± √D) / (2a)`

`sin(x) = (√8) / 4` или `sin(x) = - (√8) / 4`

Решение `sin(x) = (√8) / 4`

Решим уравнение `sin(x) = (√8) / 4`:

`x = arcsin((√8) / 4)` `x = arcsin(√2 / 2)` `x = π/4 + 2kπ` или `x = 3π/4 + 2kπ`

где `k` - целое число.

Решение `sin(x) = - (√8) / 4`

Решим уравнение `sin(x) = - (√8) / 4`:

`x = arcsin(- (√8) / 4)` `x = arcsin(- √2 / 2)` `x = 5π/4 + 2kπ` или `x = 7π/4 + 2kπ`

где `k` - целое число.

Ответ

Все решения исходного уравнения `tg(x) - sin^2(x) = 0`: - `x = kπ` где `k` - целое число. - `x = π/4 + 2kπ` или `x = 3π/4 + 2kπ` где `k` - целое число. - `x = 5π/4 + 2kπ` или `x = 7π/4 + 2kπ` где `k` - целое число.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать.