Question

Найдите стационарные точки функции y=cos2x+2cosx, пожалуйста. Точку x= πn, n ∈ Z получается найти. В ответе указана также x=±(2π)/3+2πn, n ∈ Z.

Answer 1

По определению стационарная точка - точка, в которой производная функции = 0.
Соответственно, для нахождения стационарных точек функции $y=cos2x+2cosx$ найдём её первую производную и приравняем её к нулю:
$y'=(cos2x+2cosx)'=(cos2x)'+(2cosx)'=$
$=(cos2x)'*(2x)'+2*(cosx)'=-sin2x*2*(x)'+2*(-sinx)=$
$=-2sin2x*1-2sinx=-4sinxcosx-2sinx=-2sinx*(2cosx+1)$

$-2sinx*(2cosx+1)=0$
Отсюда $sinx=0$ ⇒ $x= \pi n$, n∈Z и $cosx=- \frac{1}{2}$ ⇒ $x=(+-)arccos(- \frac{1}{2})+2 \pi k=$
$=(+-)( \pi-arccos(\frac{1}{2}))+2 \pi k=(+-)( \pi - \frac{ \pi }{3} )+2 \pi k=(+-) \frac{2 \pi }{3} +2 \pi k$, k∈Z.

=> стационарными точками являются x=πn;2π/3+2πk, n∈Z,k∈Z.