Question

В параллелограмме одна из сторон равна 20 м а диагонали равны 32 м и 40 м . Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями

Answer 1

2(a²+b²) =d₁² +d₂²⇒b² =(d₁² +d₂²)/2 -a²⇔ b=√ ((d₁² +d₂²)/2 -a²) ;
b=√ ((32² +40²)/2 -20²) =4√57. 
20² =16²+20² -2*16*20*cosα⇒cosα=2/5.
α =arccos(2/5).
----------   или    ----------
Пусть параллелограмма ABCD    и  O точка пересечения диагоналей .
AB=a= 20 ;d₁=BD =32; d₂=AC=40  .
ΔAOB известен по трем сторонам :
BO = BD/2 =16;  AO =AC/2 =40/2 =20 =AB . ⇒ΔAOB -равнобедренный
Проведем AH ⊥BO (BH =HO = BO/2 =16/2 =8 высота и медиана совпадают) ,поэтому cos∠AOB =(BO/2) / AO =8/20 =2/5 ⇒
 ∠AOB =arccos(2/5).
Из ΔAOD:  AD² =AO² +OD² -2AO*OD*²cos(180° - ∠AOB) ⇔
AD² =AO² +OD² +2AO*OD*²cos ∠AOB ;
b =AD = √(20²+16² +2*20*16*2/5) =√912 =√(16*57) =4√57.