Question

Найдите пожалуйста значение выражения

Answer 1

Формулы:
$\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y= \dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}$
$\sin x+\sin y= \frac{1}{2} (\cos(x-y)-\cos(x+y)) \\\ \cos x+\cos y= \frac{1}{2} (\cos(x+y)+\cos(x-y))$

$(\mathrm{tg} \alpha +1)(\mathrm{tg} \beta +1)=2$
Представим 1 как $\mathrm{tg} \dfrac{ \pi }{4}$:
$(\mathrm{tg} \alpha +\mathrm{tg} \dfrac{ \pi }{4})(\mathrm{tg} \beta +\mathrm{tg} \dfrac{ \pi }{4})=2$
Применяем формулу суммы тангенсов:
$\dfrac{\sin( \alpha + \frac{\pi}{4}) }{\cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} } \cdot \dfrac{\sin( \beta + \frac{\pi}{4}) }{\cos \beta \cos \frac{\pi}{4} }=2 \\\ \dfrac{\sin( \alpha + \frac{\pi}{4})\sin( \beta + \frac{\pi}{4}) }{\cos \alpha\cos \beta } =2\cos \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4} \\\ \dfrac{\sin( \alpha + \frac{\pi}{4})\sin( \beta + \frac{\pi}{4}) }{\cos \alpha\cos \beta } =2\cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2}\cdot \dfrac{ \sqrt{2} }{2}$
$\dfrac{\sin( \alpha + \frac{\pi}{4})\sin( \beta + \frac{\pi}{4}) }{\cos \alpha\cos \beta } =1 \\\ \sin( \alpha + \frac{\pi}{4})\sin( \beta + \frac{\pi}{4})=\cos \alpha\cos \beta$
Применяем формулы произведения синусов и произведения косинусов:
$\frac{1}{2} (\cos( \alpha + \frac{\pi}{4}- \beta - \frac{\pi}{4})-\cos( \alpha + \frac{\pi}{4}+ \beta + \frac{\pi}{4}))= \frac{1}{2}( \cos( \alpha+\beta)+\cos( \alpha-\beta))$
$\cos( \alpha - \beta)-\cos( \alpha + \beta + \frac{\pi}{2})= \cos( \alpha+\beta)+\cos( \alpha-\beta)$
$-\cos( \alpha + \beta + \frac{\pi}{2})= \cos( \alpha+\beta)$
Применяем формулу приведения:
$\sin( \alpha + \beta )= \cos( \alpha+\beta) \\\ \mathrm{tg}( \alpha + \beta )=1$
Записываем общее решение уравнения:
$\alpha + \beta= \frac{ \pi }{4} + \pi n, \ n\in Z$
Так как сами углы $\alpha$ и $\beta$ - углы первой четверти, то нам необходимо найти значение суммы $\alpha + \beta$ в промежутке $(0; \pi )$. Такое значение одно: $( \alpha + \beta )_0= \frac{ \pi }{4}$
$3.2\cdot( \frac{ \alpha + \beta }{ \pi} )^2=3.2\cdot( \frac{ \frac{ \pi }{4} }{ \pi} )^2= 3.2\cdot( \frac{ 1 }{ 4} )^2=3.2\cdot \frac{ 1 }{ 16} =0.2$
Ответ: 0.2