Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=3sinx cosx+1 y=1/3cos^2x-1/3sin^2x+1

Answer 1

1) мах(у)= 2,5 min(y) = -0,5

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функций \(y = 3\sin x \cos x + 1\) и \(y = \frac{1}{3}\cos^2 x - \frac{1}{3}\sin^2 x + 1\), давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Функция \(y = 3\sin x \cos x + 1\):

1. Нахождение стационарных точек: - Найдем производную функции \(y\) по \(x\): \[ \frac{dy}{dx} = 3(\cos^2 x - \sin^2 x) \]

- Решим уравнение \( \frac{dy}{dx} = 0 \) для нахождения стационарных точек: \[ 3(\cos^2 x - \sin^2 x) = 0 \]

- Это уравнение будет иметь решения при \(\cos x = \sin x\) и \(\cos x = -\sin x\).

2. Анализ знаков производной: - Рассмотрим интервалы, обусловленные стационарными точками, и определим знак производной в каждом из них. - Это позволит определить, где функция возрастает или убывает.

3. Нахождение точек перегиба (где \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)): - Найдем вторую производную функции и решим уравнение \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) для нахождения точек перегиба.

4. Анализ поведения на бесконечности: - Рассмотрим пределы функции при \(x \to \pm \infty\) для определения ее поведения на бесконечности.

5. Подставление найденных точек в функцию \(y\): - Подставим найденные стационарные точки и точки перегиба в функцию \(y\) для определения соответствующих значений функции.

Функция \(y = \frac{1}{3}\cos^2 x - \frac{1}{3}\sin^2 x + 1\):

1. Нахождение стационарных точек: - Найдем производную функции \(y\) по \(x\): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}\sin x \cos x \]

- Решим уравнение \( \frac{dy}{dx} = 0 \) для нахождения стационарных точек: \[ -\frac{2}{3}\sin x \cos x = 0 \]

- Это уравнение будет иметь решения при \(\sin x = 0\) или \(\cos x = 0\).

2. Анализ знаков производной: - Рассмотрим интервалы, обусловленные стационарными точками, и определим знак производной в каждом из них.

3. Нахождение точек перегиба (где \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)): - Найдем вторую производную функции и решим уравнение \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) для нахождения точек перегиба.

4. Анализ поведения на бесконечности: - Рассмотрим пределы функции при \(x \to \pm \infty\) для определения ее поведения на бесконечности.

5. Подставление найденных точек в функцию \(y\): - Подставим найденные стационарные точки и точки перегиба в функцию \(y\) для определения соответствующих значений функции.

После выполнения этих шагов можно определить наименьшее и наибольшее значение каждой из функций.