Question

sin2x+2cosx=sinx+1

Answer 1

sin2x+2cosx=sinx+1

2sinx*cosx+2cosx=sinx+1

2cosx(sinx+1)=sinx+1       /(sinx+1)

2cosx=1

cosx=1/2

x= П/3+2Пк

Answer 2

Дано уравнение: sin(2x) + 2cos(x) = sin(x) + 1.

Перепишем уравнение в виде: 2sin(x)cos(x) + 2cos(x) = sin(x) + 1.

Просуммируем все члены уравнения: 2sin(x)cos(x) + 2cos(x) - sin(x) - 1 = 0.

Распишем выражение sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Подставим данное равенство в уравнение: sin(2x) + 2cos(x) - sin(x) - 1 = 0.

Заметим, что полученное уравнение имеет вид квадратного трехчлена для sin(x):

2sin(x)cos(x) - sin(x) + 2cos(x) - 1 = 0.

Для решения такого уравнения воспользуемся методом подстановки.

Предположим, что sin(x) = t. Тогда cos(x) = √(1-t²).

Подставим полученные значения в уравнение:

2t√(1-t²) - t + 2√(1-t²) - 1 = 0.

Раскроем скобки:

2t√(1-t²) + 2√(1-t²) - t - 1 = 0.

Вынесем общий множитель за скобки:

(2t + 2)√(1-t²) - (t + 1) = 0.

Разделим обе части уравнения на (t + 1):

(2t + 2)√(1-t²) = t + 1.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(2t + 2)²(1-t²) = (t + 1)².

Раскроем скобки:

4t² + 8t + 4 - 4t⁴ - 8t² - 4t² = t² + 2t + 1.

Сократим подобные члены:

-4t⁴ + 2t + 4 = 0.

Решим полученное уравнение при помощи графического метода или численных методов.

Найденные значения t будут являться решениями исходного уравнения sin(2x) + 2cos(x) = sin(x) + 1.