Question

При каких А и В многочлен 7x^4-17x^3+Ax^2+Bx-18 делится на x^2-9 без остатка?

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Решение в приложении.

Answer 3

Чтобы многочлен $7x^4-17x^3+ax^2+bx-18$ делился на $x^2-9$ без остатка, остаток от деления многочлена на это квадратное выражение должен быть равен нулю.

Мы можем использовать алгоритм деления многочлена на многочлен, известный как алгоритм синтетического деления. Для этого нужно разделить первый старший член многочлена ($7x^4$) на старший член делителя ($x^2$), чтобы получить первый частное многочлена ($7x^2$). Затем нужно перемножить делитель на полученное частное ($x^2-9$ * $7x^2$), чтобы получить новое выражение ($7x^4-63x^2$). Необходимо вычесть это выражение из исходного многочлена, чтобы получить остаток ($-17x^3+ax^2+bx-18 - (7x^4-63x^2)$). Если остаток равен нулю, значит, многочлен делится на $x^2-9$ без остатка.

$-17x^3+ax^2+bx-18 - (7x^4-63x^2)$

Чтобы продолжить алгоритм, нужно определить коэффициенты многочлена: $a$ и $b$.

Мы знаем, что остаток должен быть равен нулю, поэтому можно записать следующее уравнение:

$-17x^3+ax^2+bx-18 - (7x^4-63x^2) = 0$

Теперь можно объединить подобные члены:

$7x^4 - 17x^3 - 63x^2 + ax^2 + bx - 18 = 0$

Используя многочленное тождество, мы можем записать:

$7x^4 + (-17x^3 + ax^2) + (-63x^2 + bx) - 18 = 0$

Теперь мы видим, что у нас есть коэффициенты перед $x^4$, $x^3$, $x^2$ и $x$, а также константа. Чтобы многочлен делился на $x^2 - 9$ без остатка, каждый коэффициент должен равняться нулю:

$7 = 0$

$-17 + a = 0$

$-63 + b = 0$

$-18 = 0$

Из последнего уравнения мы видим, что константа равна нулю. Если константа не равна нулю, то многочлен не будет делиться без остатка.

Находим значения для $a$ и $b$ из предпоследних двух уравнений:

$a = 17$

$b = 63$

Таким образом, при значениях $a = 17$ и $b = 63$ многочлен $7x^4-17x^3+ax^2+bx-18$ делится на $x^2-9$ без остатка.