Question

sin2x+3sinx+3cosx=1 РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! СРОЧНО) 2 ПОСЛЕ СИНУСА НЕ КВАДРАТ) нууууууууууу.... никто не может?

Answer 1

2sinxcosx+3sinx+3cosx=sin^2 x+cos^2 x

-sin^2 x+2sinxcosx-cos^2 x=-3sinx-3cosx

sin^2 x-2sinxcosx+cos^2 x=3sinx+3cosx

(sinx+cosx)^2-3(sinx+cosx)=0

(sinx+cosx)(sinx+cosx-3)=0

sinx+cosx=0 или sinx+cosx-3=0

tgx+1=0

tgx=-1

x=-pi/4 + pi*k, где - целое число!

а вот второе - хоть убей, не помню, как решать! 

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

У вас дано уравнение:

\[ \sin(2x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) = 1 \]

Давайте преобразуем его.

Используем тригонометрическое тождество для \( \sin(2x) \):

\[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]

Подставим это значение в уравнение:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) = 1 \]

Теперь давайте преобразуем уравнение, выделив синусы и косинусы:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты:

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) + 2.25 - 2.25 - 1 = 0 \]

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) + 2.25 - 3.25 = 0 \]

\[ 2\sin(x)\cos(x) + 3\sin(x) + 3\cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь давайте выделим полные квадраты для синусов и косинусов:

\[ (\sin(x) + \cos(x))^2 + 2\sin(x) + 2\cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь мы можем ввести подстановку \( t = \sin(x) + \cos(x) \):

\[ t^2 + 2t - 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта. Дискриминант равен \( 2^2 - 4(-1) = 8 \).

Таким образом, у нас есть два корня:

\[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = -1 + \sqrt{2} \] \[ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = -1 - \sqrt{2} \]

Теперь мы можем вернуться к подстановке \( t = \sin(x) + \cos(x) \) и решить для \( x \):

\[ \sin(x) + \cos(x) = -1 + \sqrt{2} \]

Это уравнение можно решить графически или с использованием тригонометрических тождеств. Давайте преобразуем его, используя тождество \( \sin(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \):

\[ \sin(x) + \cos(x) = -1 + \sqrt{2} \]

\[ \sin(x) + \sin(\frac{\pi}{2} - x) = -1 + \sqrt{2} \]

\[ 2\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) = -1 + \sqrt{2} \]

\[ \sqrt{2}\cos(x) = -1 + \sqrt{2} \]

\[ \cos(x) = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \]

\[ \cos(x) = \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \]

Теперь найдем соответствующий угол \( x \). Это можно сделать, используя арккосинус:

\[ x = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) \]

Таким образом, у нас есть два значения \( x \), соответствующих двум корням уравнения.

\[ x_1 = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) \] \[ x_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + \pi \]

Теперь, чтобы найти все решения уравнения, нужно добавить к ним кратные периоды тригонометрических функций. Кратные периоды для синуса и косинуса равны \( 2\pi \), поэтому можно добавить \( 2\pi k \) к каждому решению, где \( k \) - целое число.

Итак, общее решение будет выглядеть так:

\[ x_1 = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + 2\pi k \] \[ x_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right) + \pi + 2\pi k \]

Где \( k \) - целое число.