Question

У=3x/ln x. Найти производную логарифмической функции

Answer 1

Используем правило частного при нахождении производной, константу вынесем за знак производной
у'=3*((x)'*lnx-(lnx)'*x)/(lnx)²
y'=3*(lnx-1)/(lnx)²

Answer 2

У вас дано выражение \(У = \frac{3x}{\ln{x}}\), которое представляет собой отношение двух функций \(3x\) и \(\ln{x}\).

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Правило гласит: Если \(У = \frac{f(x)}{g(x)}\), то производная \(У\) равна

\[ У' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

где \(f'(x)\) и \(g'(x)\) - производные функций \(f(x)\) и \(g(x)\) соответственно.

Давайте найдем производные от \(3x\) и \(\ln{x}\):

1. \(f(x) = 3x\) Производная \(f(x)\) равна \(f'(x) = 3\).

2. \(g(x) = \ln{x}\) Производная \(\ln{x}\) равна \(\frac{1}{x}\).

Теперь, применяем формулу для производной частного:

\[ У' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

Подставляем полученные производные:

\[ У' = \frac{(3) \cdot (\ln{x}) - (3x) \cdot \left(\frac{1}{x}\right)}{[\ln{x}]^2} \]

\[ У' = \frac{3\ln{x} - 3}{[\ln{x}]^2} \]

Это и есть производная функции \(У = \frac{3x}{\ln{x}}\):

\[У' = \frac{3\ln{x} - 3}{[\ln{x}]^2}\]