Question

(3-4cos2a+cos4a)/(3+4cos2a+cos4a)=tg^4a подробно

Answer 1

(3-4cos2a+2cos²2a-1)/(3+4cos2a+2cos²2a-1)=
=(2cos²2a-4cos2a+2)/2cos²2a+4cos2a+2)=
=2(cos²2a-2cos2a+1)/2(cos²2a+2cos2a+1)=(cos2a-1)²/(cos2²+1)²=
=(-2sin²a)²/(2cos²a)²=4sin^4a/4cos^4a=tg^4a

Answer 2

Для того чтобы решить данное уравнение, воспользуемся формулой тангенса суммы:

tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1 - tg(a) * tg(b))

Подставим значения a и b:

a = a b = 2a

tg(3a) = (tg(a) + tg(2a))/(1 - tg(a) * tg(2a))

Умножим числитель и знаменатель выражения (3-4cos2a+cos4a)/(3+4cos2a+cos4a) на (3+4cos2a+cos4a):

(3-4cos2a+cos4a)/(3+4cos2a+cos4a) = (((3-4cos2a+cos4a)(3+4cos2a+cos4a))/(3+4cos2a+cos4a))/(3+4cos2a+cos4a)

= (9-12cos2a+3cos4a+12cos2a-16cos^2(2a)+4cos^2(2a)cos4a+cos4a+4cos^2(2a)cos4a-cos^4(2a))/(3+4cos2a+cos4a)

= (9+4cos4a-16cos^2(2a)+8cos^2(2a)cos4a-cos^4(2a))/(3+4cos2a+cos4a)

Заметим, что первое слагаемое 9 не зависит от угла "a".

Мы знаем, что:

cos(2a) = 1 - 2sin^2(a) (формула понижения степени)

cos(4a) = 1 - 2sin^2(2a) = 1 - 2sin^2(2(2a)) = 1 - 2sin^2(4a)

cos^2(2a) = (1 - 2sin^2(a))^2 = 1 - 4sin^2(a) + 4sin^4(a)

cos^4(2a) = ((1 - 4sin^2(a) + 4sin^4(a))^2 = 1 - 8sin^2(a) + 16sin^4(a) - 16sin^4(a) + 32sin^6(a) - 16sin^8(a)

Подставим эти значения в полученное уравнение:

= (9 + 4(1 - 2sin^2(4a)) - 16(1 - 4sin^2(a) + 4sin^4(a)) + 8(1 - 4sin^2(a) + 4sin^4(a))(1 - 2sin^2(4a)) - (1 - 8sin^2(a) + 16sin^4(a) - 16sin^4(a) + 32sin^6(a) - 16sin^8(a)))/(3 + 4(1 - 2sin^2(a)) + (1 - 2sin^2(4a)))

= (9 + 4 - 8sin^2(4a) - 16 + 64sin^2(a) - 64sin^4(a) + 8 - 32sin^2(a) + 32sin^4(a) - 16)(3 + 4 - 8sin^2(a) + 1 - 2sin^2(4a))

= (-63 - 88sin^2(a) + 16sin^2(4a) - 32sin^4(a) + 32sin^4(a) + 16sin^8(a))/(4 - 8sin^2(a) - 2sin^2(4a))

В итоге, получаем следующее выражение:

(-63 - 88sin^2(a) + 16sin^2(4a) - 32sin^4(a) + 32sin^4(a) + 16sin^8(a))/(4 - 8sin^2(a) - 2sin^2(4a))

Таким образом, подробное решение данного уравнения сводится к полученному выражению.