Question

Найти производную 1)y=ln(arcsin²5x) 2)y=x³·sin⁵3x+tg√x

Answer 1

1)y`=(ln(arcsin²5x))`=

$=\frac{1}{arcsin^25x}\cdot(arcsin^25x)`= \frac{1}{arcsin^25x}\cdot 2arcsin5x\cdot(arcsin5x)`= \\ \\ =\frac{1}{arcsin^25x}\cdot 2arcsin5x\cdot \frac{1}{ \sqrt{1-(5x)^2} }\cdot(5x)` =\frac{10}{arcsin5x\cdot \sqrt{1-25x^2} }.$

2)y`=(x³·sin⁵3x)`+(tg√x)`=

$=3x^{2}\cdot sin^53x+x^3\cdot 5sin^43x\cdot(sin3x)`+ \frac{1}{cos^2 \sqrt{x} }\cdot( \sqrt{x} )`= \\ \\ =3x^{2}\cdot sin^53x+x^3\cdot 5sin^43x\cdot(cos3x)\cdot(3x)`+ \frac{1}{cos^2 \sqrt{x} }\cdot( \frac{1}{2 \sqrt{x} } )=$

$=3x^{2}\cdot sin^53x+15x^3\cdot sin^43x\cdotcos3x+ \frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot cos^2 \sqrt{x} }.$

Answer 2

Для решения данной задачи нам потребуется использовать правила дифференцирования для различных элементарных функций. Давайте найдем производную для каждого из заданных выражений.

1) y = ln(arcsin²(5x))

Для начала, рассмотрим вложенную функцию arcsin²(5x). Здесь мы имеем композицию функций, поэтому нам потребуется применить цепное правило дифференцирования.

По цепному правилу, производная внешней функции ln(u) равна производной внутренней функции u, умноженной на производную внутренней функции u. Давайте вычислим производные по очереди.

Пусть v = arcsin²(5x), тогда u = ln(v). Найдем производную u'(x):

u' = (1/v) * v'

Теперь найдем производную v'(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для функции arcsin²(5x).

v' = 2 * arcsin(5x) * (1/√(1 - (5x)²)) * 5

Теперь подставим найденные значения в формулу для u':

u' = (1/v) * v' = (1/arcsin²(5x)) * 2 * arcsin(5x) * (1/√(1 - (5x)²)) * 5

Таким образом, производная функции y = ln(arcsin²(5x)) равна:

y' = u' = (1/arcsin²(5x)) * 2 * arcsin(5x) * (1/√(1 - (5x)²)) * 5

2) y = x³ · sin⁵(3x) + tg(√x)

Для этого выражения также потребуется применить несколько правил дифференцирования. Давайте найдем производную для каждого слагаемого по отдельности и сложим их.

Для первого слагаемого x³ · sin⁵(3x) мы будем использовать правило дифференцирования для произведения функций.

Пусть u = x³, v = sin⁵(3x). Тогда y = u · v. Найдем производную y'(x):

y' = u' · v + u · v'

Теперь найдем производные u' и v'.

u' = 3x²

v' = 5 · sin⁴(3x) · cos(3x) · 3

Теперь подставим найденные значения в формулу для y':

y' = u' · v + u · v' = 3x² · sin⁵(3x) + x³ · 5 · sin⁴(3x) · cos(3x) · 3

Для второго слагаемого tg(√x) мы будем использовать правило дифференцирования для функции тангенса.

Пусть w = √x. Тогда z = tg(w). Найдем производную z'(x):

z' = (1/cos²(w)) · w'

w' = (1/2√x)

Теперь подставим найденные значения в формулу для z':

z' = (1/cos²(√x)) · (1/2√x)

Таким образом, производная функции y = x³ · sin⁵(3x) + tg(√x) равна:

y' = 3x² · sin⁵(3x) + x³ · 5 · sin⁴(3x) · cos(3x) · 3 + (1/cos²(√x)) · (1/2√x)

Это и есть ответ на задачу.